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1、作业要求：作业要及时完成，及时提交。作业（网络作业、期中作业）要计入总分。学习过程中的问题，可通过网上答疑系统提出。考试说明：试题类型：填空题(40%)、计算题和证明题(60%)。考试范围1-4章：其中第1、2章各占30%，第3、4章各占20％（以光盘为准）。试题难度不超出习题、例题、模拟试卷。第一章整数的整除性论第二章同余理论第三章不定方程第四章同余式第一章整数的整除性理论本章主要从整数的整除性概念出发，介绍带余除法、辗转相除。然后以其为工具建立最大公因数和最小公倍数理论，最后介绍算术基本定理，高斯函数等。⑤若b
2、a，a≠0则④
3、若b
4、a且a
5、b，则
6、a
7、=
8、b
9、①若c
10、b,b
11、a,则c
12、a②b
13、a的充要条件是cb
14、ca③若c
15、a,c
16、b,则对于一般地若m
17、ai（i=1,2,…，n）,则一、整除的概念与性质定理：，则使得a=bq+r（0≤r<
18、b
19、）成立,并且q,r是唯一的。定理：k个连续整数中有且仅有一个整数能被k整除。定理：k个连续整数之积恒被k!所整除例：证明6
20、n(n+1)(2n+1)证明：∵n∈∴2
21、n(n+1)(2n+1)i)若n=3m，则3
22、n(n+1)(2n+1)ii)若n=3m+2，则n+1=3m+3∴3
23、n(n+1)(2n+1)iii
24、)若n=3m+1,则2n+1=6m+2+1=6m+3∴3
25、n(n+1)(2n+1)又∵（2,3）=1∴6
26、n(n+1)(2n+1)定理1：设a,b,c是任意三个不全为零的整数，且a=bq+cq∈,则(a,b)=(b,c)定理2：任意两个正整数a,b的任意公因数都是(a,b)的因数。二、最大公因数和最小公倍数定理3：任意两个正整数a,b，则存在整数x,y，使得ax+by=(a,b)成立(ii)若c>0，c
27、a,c
28、b，则定理4：设a,b是不全为零的整数。(i)若m>0，则(am,bm)=m(a,b)(iii)若(a,b)=1，t是
29、任意整数，则(at,b)=(t,b)定理4：设a,b是任给的两个正整数，则(i)a,b的所有公倍数都是[a,b]的倍数。(ii)[a,b](a,b)=ab推论：若(a,b)=1,则[a,b]=ab定理5：设正整数m是a,b的一个公倍数，则证明：设(a-b,a+b)=d则d
30、a-b,d
31、a+b⇒d
32、a-b+a+b,d
33、a-b-(a+b)即d
34、2a,d
35、2b⇒d
36、(2a,2b)⇒d
37、2(a,b)∵(a,b)=1∴d
38、2⇒d=1或d=2例：如果(a,b)=1，则(a-b,a+b)=1或2三、整数的唯一分解定理(算术基本定理)其中定理：对
39、于任一大于1的整数a，除因数的顺序外都能唯一分解成：且(1)d是a的正因数的充分必要条件是(0≤βi≤αii=1,2,…,k)(2)a的正因数的个数为T(a)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)(αi+1)(3)a的一切正因数之和T(a)为a的一切正因数的个数。(4)a的一切正因数之积为定理：若x是正实数，n∈+，则不大于x，且为n的倍数的自然数的个数是四、高斯函数[x]定理：在n!的标准分解式中素因数p的指数是p(n!)即200!的标准式中素因数7的指数为32。例：求200！标准分解式中素因数7的指数。解：7(200!)=
40、28+4+0=32第二章同余理论本章主要介绍同余的概念及其基本性质，完全剩余系和互素剩余系，以及著名的欧拉定理、费马定理和威尔逊定理。一、同余概念和基本性质定理1：整数a,b关于模m同余的充要条件是m
41、a-b定理2：若a1≡b1(modm)，a2≡b2(modm)则(1)a1+a2≡b1+b2(modm)(2)a1-a2≡b1-b2(modm)(3)a1a2≡b1b2(modm)推论：若ak≡bk(modm)k=1,2,…,n则(1)(2)推论：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)n∈+定理：若ac≡bc(modm)且
42、(c，m)=1,则a≡b(modm)定理:若m1>0，m1
43、m且a≡b(modm)则a≡b(modm1)定理：若c>0，则a≡b(modm)ac≡bc(modmc)定理：若a≡b(modmi)(i=1，2，…,n)，则a≡b(mod[m1，…,mn])定理:若ac≡bc(modm)且(c，m)=d，则a≡b(mod)解：∵47≡-2(mod7)∴4750≡(-2)50(mod7)≡250(mod7)≡23×16+2(mod7)≡(23)16·22(mod7)≡816·22(mod7)≡1·22(mod7)≡4(mod7)∴7除47
44、50的余数为4。例：求7除4750的余数。定理：k个整数a1，a2，…，ak形成模m的完全剩余系的充要条件是：(1)k=m(2)ai≢aj(modm)(i≠j)定理：若(a，m)=1,∀b∈，则当x通过模m的完全剩余系时，则ax+b也通过模m的完
