初等数论单元复习课件

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1、单元小结第一章整数的整除性定义1.1设a，b∈Z，b≠0，如果存在q∈Z，使得等式a＝bq成立．我们就说，a能被b整除或b整除a，记作b

2、a．如果整数q不存在(即对任何整数q，恒有bq≠a),那么就说a不能被b整除(或者说b不能整除a)，记作b｜a。1.1整除1、整除的概念：如果整数a能被整数b(b≠0)整除(即b

3、a)，那么a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数.2、当然约数与真约数:一般地，在整数a的约数中±l与±a叫做整数a的当然约数；除±1与±a之外，a的其它约数叫做a的真约数(或非当然约数)。(5)x,y为任意整数，若ab,ac,则a(

4、bx+cy)；(6)若m≠0,则ab的充分必要条件是mamb(7)若ab,ba，则a=±b(8)若a，b∈N+,ab,则a≤b(9)若a是b的真约数，则1＜a＜b4、整除的基本性质:4、带余除法设a,b是两个整数，b≠0，则一定有并且只有两个整数q,r使得a=bq+r,0≤r<︱b︱成立，而且q与r是唯一的．求两个数的不完全商q和余数的运算叫做带余除法运算(或有余数除法运算)．整除可以看作是带余除法中余数为零的特殊情况．即a＝bq+r且r＝0a＝bq.1、奇数与偶数的定义:根据整除概念我们把能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的

5、整数叫做奇数，它们的一般表示式为：偶数N=2n(n为整数)，奇数N＝2n+l(n为整数)．二、奇数与偶数2、奇数与偶数具有下面性质：性质1(关于偶数)(1)任意个偶数的和(或差)是偶数；(2)任意一个整数与偶数的积是偶数，特别地，n个偶数的积是2n的倍数（n∈N+）.性质2(关于奇数)(1)双数个奇数的和是偶数；(2)单数个奇数的和是奇数；(3)任意个奇数的积还是奇数。性质3奇数与偶数的和是奇数.性质4任一奇数与任一偶数不相等.1.2最大公约数与最小公倍数1.最大公约数：⑴一般地，n个整数的公有的约数，叫做这n个数的公约数，n个数的公约数中最大的一

6、个数，叫做这n个数的最大公约数．整数a1,a2,…,an(n≥2，n∈N)的最大公约数用符号(a1,a2,…,an)来表示．⑵如果两个整数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数，或者说，这两个数互质．（3）n个数互质若(a1，a2，…，an)=1,那么就叫做这n个数互质．例如，(2，4，9)＝1，我们就说2，4，9这三个数互质．如果a1，a2，…，an(n≥2)中的任意两个数ai,aj(i≠j,I＝1,2,…,n；j＝1,2,…,n)互质，即(ai,aj)＝1，那么就叫做这n个整数两两互质．（4）n个数两两互质设a，b为两个任意自然数,a>b，如

7、果a＝bq1+r1(0

8、＝29．⑷性质：定理1.3.3推论1(裴蜀恒等式)如果两个数a，b的最大公约数是d，那么存在两个整数x与y，使得等式ax+by＝d成立．(可以推广到n个数的情况)推论2：两个数a，b互质的必要且充分条件是存在整数x与y,使ax＋by＝1成立。推论1的推广设a1,a2,…,an∈N+(n≥2)，则一定存在整数s1,s2,…,sn，使a1s1＋a2s2＋…＋ansn＝(a1,a2,…,an).2.最小公倍数⑴意义：n个整数公有的倍数，叫做这n个数的公倍数，n个整数的非零公倍数中最小的正数叫做这n个数的最小公倍数．自然数a1,a2,…,an(n≥2，n∈

9、N)的最小公倍数，用符号[a1,a2,…,an]表示．⑵性质：１）n个数的最小公倍数能整除它们的任何一个公倍数，就是如果d=[a1,a2,…,an]，D是a1,a2,…,an的任意一个公倍数，那么d

10、D．2)两个数的最大公约数与最小公倍数的积等于这两个数的积，就是(a，b)×[a，b]=ab推论若(a,b)=1，则[a,b]=ab定理1.3.8定理1.3.9定理1.3.8与定理1.3.9可类比定理1.3.6与定理1.3.7得到。定理1.3.6(a1，a2，…，ak)=d的充要条件是最大公约数与最小公倍数的其他性质多个数的最大公约数和最小公倍数定理1

11、.3.10定理1.3.11由此表明，多个数的最大公约数、最小公倍数可以由求两个数的最大公约数与最小公倍数逐步求出．定理1.