《初等数论》复习练习

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1、《初等数论》复习练习1．求24871与3468的最大公因数?2．[24871,3468]=?3．求[525,231]=?4．找出100以内的质数5．证明对于任意整数,数是整数.6.求解不定方程并求出正整数解：1)、2)、.3).求不定方程的整数解。7、解同余式（组）(1)8、求的末两位数码.9.求84965除以13的余数。10．n=9450，求n的标准分解式，并求τ（n），σ（n），φ（n）。511．求2004！的末尾有多少个连续的零。12．判断x=1*1996+2*1996+3*1996+…1996*1996除以9余几？1

2、3．判断359是否是质数。14．M=8，写出M的一个完全剩余系。15．X是方程X2+X-1=0的根，求[X]及{X}16.欧拉函数的值,n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,1017、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.18．128*935*874*（），要使这个乘积的最后4个数字都是0，说明（）最小应填什么数。19.[x]=9，[y]=10，[z]=11，求[x+y-z]的值20．若今天是星期二，那么从今天起再过22010天是星期几？为什么？设A=2010∵（2，7）=1，∴由费马小定理，26≡1（mod7），201

3、0=6×333+2≡2（mod6）∴A=6q+2，2A=26q+2=26q22≡22（mod7）≡4（mod7）故是星期六5参考解答：1.解：24871＝7×11×17×19，         3468＝22×3×172       ∴（24871，3468）＝17.2.由上题得        [24871，3468]＝2×2×3×7×17×17×19＝5073684.3.由上题的方法，或用短除法求得，       [525，231]＝11×21×25＝5775。4.见课本P28。共25个。5.证明：原式＝n（n+1）（n+

4、2）      ∵2个连续整数的积是2的倍数，3个连续整数的积为3的倍数（可用数学归纳法等方法证明），而（2，3）＝1，     ∴6

5、n（n+1）（n+2）。即得结论。 6.1）解：∵（9，21）＝3

6、144，∴方程有解，原方程化为3X+7Y＝48.取特解x0＝16，y0＝0，得通解 t∈z，方程的正整数解须满足x>0,y>0,得0

7、18，∴方程有解.取特解x0＝3，y0＝0，得通解 t∈z，方程的正整数解须满足x>0,y>0,得0

8、程的解为满足 ,  t∈z的所有整数解,有无数个.3)解:用转辗相除法原式化为:7z=4-25x-13y, z=(4-25x-13y)=-3x-y+(4-4x-6y).5令(4-4x-6y).=u,则u∈z，故得4x+6y+7u=4,同上理,再把上式化为4x=4-6y-7u,得x=1-y-u-(2y+3u)/4,令(2y+3u)/4=v,则V∈z.故得2y+3u-4v=0,∴y=(4v-3u)/2=2v-u-u/2,令u/2=t,则t∈z.,得u=2t,故得       y=2v-3t,      x=1-(2v-3t)-2

9、t-v=1-3v+t,     z=-3(1-3v+t)-(2v-3t)+2t=-3+v+2t,即原方程的解为 t∈z,V∈z.7.解:∵(7,8,9)=1,先解同余方程8*9b1≡1(mod7),得2b1≡1(mod7),∴b1=4.同理解同余方程63b2≡1(mod8),56b3≡1(mod9),得b2=7,b3=5.故方程的解为X≡1*4*72+2*7*63+3*5*56+7*8*9L≡2010+504L≡498(mod504).8.解:题目相当于求3364模100的余数.∵φ(100)=φ(22*52)=100(1-

10、1/2)(1-1/5)=40,∴3φ(100)≡1(mod100),340≡1(mod100),∴3364≡39*40+4≡34≡81(mod100),即所求两数码为81.9.解:∵(8,13)=1,φ(13)=12.∴812≡1(mod13).4965=413×12+9,84965≡8413×12+9≡89≡644×8≡(-1)48≡B(mod13).故余数为8.10．解:9450=2×32×52×7.τ(n)=(1+1)(3+1)(2+1)(1+1)=48.5σ(n)==29760φ(n)=9450(1-1/2)(1-1

11、/3)(1-1/5)(1-1/7)=9×5×48=2160.11.解：10=2×5，2004！中5的次数显然不大于2的次数，故只要求出V5（2004！），又55>2004.所以,V5（2004！）=[2004/5]+[2004/52]+[2004/53]+[2004/54]=400+80+