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2、刘道生刘道生刘道生刘道生编辑编辑编辑编辑在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在年，1991IMO道试题中有6IMO5道与数论有关。数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论舳舳在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要
3、我们多见识，以及学习大量的解题技巧。这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于，满足，其中犉NrqNba犋rbqa0br絖+<猱猱=。,,,除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。编者：刘道生于江西赣州2007-8-21第一节第一节第一节第一节整数的整数的整数的整数的进进进进位制及其应用位制及其应用位制及其应用位制及其应用p正整数有无穷多个，为了用有限个数
4、字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。基础知识基础知识基础知识基础知识，则此数可以简记为：给定一个位的正整数，其各位上的数字分别记为AaaamL021,,,mm琬琬（其中aaaA0）。≠a=L0211mmm琬琬琬由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此可以表示成的次多项式，即1
5、A10m琬012211，其中mmmm1,,2,1},9,,2,1,0{且aaaaA101010mia琬琬琬琬+×++×+×=琬=猱LLLi。在我们的日常生活中，通常将下标，像这种的多项式表示的数常常简记为0aaaA)(10≠a=L110021mmm琬琬琬省略不写，并且连括号也不用，记作，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原
6、因，主要是二进制只使用aaaA10=L021mm琬琬这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。与01为了具备一般性，我们给出正整数的进制表示：Ap012211，其中mmmm1,,2,1},1,,2,1,0{且apapapaAmipa琬琬琬琬+×++×+×=琬=琬猱LLLi仍然为十进制数字，简记为0。而aaaA)(≠am=L。0211pmmm琬琬琬典例分析典例分析典例分析典例分析例例
7、例例1111．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。分析与解答分析：用2作为除数（若化为作为除数），除2004商1002，余数为0；再用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。解：进位制就以pp除数各次商数被除数013715316212520042250501100211111010100各次余数246789104；同理，有故)0
8、1111101010()2004(212121212121214102×+×+×+×+×+×+×=+×=，210234。处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。例例例例2222．．．．求满足)3274()2004(48782834102+×+×+×=+×=，8103。（1988年上海市竞赛试题）解：由于的所有三位数cbaabc)(abc++=3；当，则，从而999100abc999)(100cba95cba絖絖絖++絖絖絖++33；当时，cba5)521(1255++
