浅析中学竞赛数学中的数论问题对学习初等数论的利与弊

《浅析中学竞赛数学中的数论问题对学习初等数论的利与弊》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、浅析中学竞赛数学中的数论问题对学习初等数论的利与弊【内容摘要】数论是竞赛数学中最重要的一部分，在各地的数学竞赛中，每年都会有数论的题型，可见其重要性。可是认真观察竞赛数学中的数论题型，却发现它与初等数论的内容既有联系又有区别。那么，学习或者参加数学竞赛对于学习初等数论为代表的高等数学是否有帮助，或者根本就不利于学习高等数学？现在，我们通过探讨竞赛数学中的数论知识与初等数论的联系与区别，来分析中学竞赛数学对于学习更高程度的数论知识的利与弊。　　【关键词】中学竞赛数学中数论问题初等数论联系与区别利与弊一、中学竞赛数学与初等数论随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一

2、门特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学。将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务。初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。现在，我们通过探讨竞赛数学中的数论问题（主要是整数整除理论与同余式）与初等数论的联系与区别，来分析中学竞赛数学对于学习更高程度的数学知识的利与弊。二、中学竞赛数学中数论问题与初等数论的联系与区别。⒈中学竞赛数学中的数论问题与初等数论的联系

3、。竞赛数学的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学。数学就其方法而言，大体上可以分成分析与代数，即连续数学与离散数学。很多国际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几何、函数方程等。其中的数论知识部分，就是来源于初等数论的概念与性质。因此，初等数论与竞赛数学中的数论问题是一般与特殊的关系；是系统与分支的关系；是理论与应用的关系。因为这些关系，竞赛数学首先要学习初等数论的基本概念和性质。例如整除的概念和性质：在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作

4、，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作。由整除的定义，容易推出以下性质：7(1)若且，则(传递性质)；(2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中；(3)若，则或者，或者，因此若且，则；(4)互质，若，则；(5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则；(6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。若，即为被整除的

5、情形。此外，也常常直接利用初等数论的一般性理论来解决问题。又如最大公约数与最小公倍数：定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。定义2.（最小公倍数）设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数［］。例题：设是正整数，且，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求。7解：设，则，其中且，于是。所以即　　由及

6、（2）可得：。由（1）可知只能取从而或29，故或。⒉中学竞赛数学中的数论问题与初等数论的区别。虽然竞赛数学中的数论问题与初等数论有密切的联系，但是，竞赛数学又不同于初等数论的数学领域。通常数学往往追求证明一些概括广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求一些特殊的问题，通常数学追求建立一般的理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊方法来解决特殊问题。在竞赛数学中，解题的第一目标常常追求的是对某一题型的的快速解答，因此，在平时训练时多数会倾向于运用总结出的一般的理论与方法的演化性质。因此，竞赛数学中的数论题与初等数轮的一般性的理论、广泛定理有所区别。⑴初等数论与竞赛数学中的

7、数论问题是一般与特殊的关系。初等数论重视一般性理论、广泛定理的证明，而竞赛数学寻求特殊方法解题，后者是前者的特殊应用。例如：在整数的性质及其应用方面，主要运用特殊方法去解题。定理：(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2和

8、例3.若是正整数，则；若是正奇数，则；（在上式中用代）7例1．证明：被1001整