初等数论在中学数学竞赛中应用

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1、摘要IABSTRACTII1绪论02整除理论及其应用02.1整除02.2带余除法定理22.3最大公约数与最小公倍数32.4高斯函数43同余理论及其应用63.1同余的定义及基本性质63.2孙子定理84不定方程及其应用94.1一次不定方程104.1.1二元一次不定方程104.1.2一次不定方程组114.2高次不定方程125结束语14参考文献15致谢16初等数论是主要研究整数性质的数学分支，包括整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程等。初等数论知识常被应用于各类的中学数学竞赛，如国内的“华罗庚金杯赛”、“希望杯

2、全国数学邀请赛”、“全国初高中数学联赛”、“奥林匹克数学竞赛”以及国际上的“国际奥林匹克数学竞赛”等，题目所占比例非常大。本文主要从初等数论的整除、同余以及不定方程这三大理论中，结合对历年的中学数学竞赛题目的分析、解题过程与反思总结归纳初等数论知识在中学数学竞赛中的应用，能够帮助大家对初等数论有更深入地了解，并且在数学竞赛屮更游刃有余地解决问题。关键词：初等数论；数学竞赛；整除；同余；不定方程ABSTRACTElementaryNumberTheoryisthemathsubfieldthatmainlyre

3、searchesthenatureofinteger,includingintegerdivisibletheory,congruencetheoryandsomespecialindefiniteequationandsoon.Theknowledgeofelementarynumbertheoryisoftenappliedtoallkindsofmathcontestsofmiddleschool,suchasdomesticHuaLuogengGoldenCupContest,"CupofHope”N

4、ationalMathematicsInvitationalContest,theNationalMiddleandSeniorSchoolMathsTournament,OlympicsMathsContestandInternationalOlympicsMathsContestandsoon,andthequestionsaccountforalargeproportion.Thisarticlemainlythroughthethreetheoriesofintegerdivisible,congru

5、enceandindefiniteequation,andcombinesanalyses,theprocessoffiguringoutquestionsandreflectionandsummaryofthequestionsofmiddleschoolcontestsovertheyearstoconcludetheapplicationofelementarynumbertheoryinthemiddleschoolcontests.Thiscanhelpusdeeplyunderstandtheel

6、ementarytheoryandsolveproblemswithskillandeaseinthemathcontests.Keywords:Elementarynumbertheory;Mathcontest;Divisuble;Congruence;Indefiniteequation1绪论初等数论是研究整数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论和某些特殊不定方程。在屮学数学的学习屮，初等数论知识常被广泛应用于数学竞

7、赛中，如国内的“华罗庚金杯赛”、“希望杯全国数学邀请赛”、“全国初高中数学联赛”、“奥林匹克数学竞赛”以及国际上的“国际奥林匹克数学竞赛(简称IMO(即InternationalMathematicalOlympiad))?,等。竞赛中初等数论的题目所占题目比例据不完全统计可达30%。由此可见，初等数论在中学数学竞赛中的地位是非常重要的。本文较为全面地介绍了初等数论中的整除、同余以及不定方程这三个理论在中学数学竞赛中的应用。首先是简单地介绍了这三大理论的基本概念及性质，其次精心挑选了历年数学竞赛屮的典型案例，

8、对案例进行分析、解答与反思详细说明初等数论知识在中学数学竞赛中的应用。希望人家能够通过本文深入地了解数学竞赛中的初等数论问题，在以后的数学竞赛中得到有效地发挥。2整除理论及其应用初等数论是研究整数基本性质的一门十分重要的数学基础课程，由此而言，初等数论的基础便是整除理论了，而最人公约数理论和算术基本定理则是初等数论的屮心内容。2.1整除定义2.1.1设q,beZ,,如果存在整数g,使。=切，则称a能