初等数论连分数.ppt

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1、第七章连分数§7.4二次不定方程一、利用循环连分数理论讨论问题二、定理及推论1．二次不定方程(1)一、利用循环连分数理论讨论问题其中是非平方的正整数;因为是非平方的整数，故是一个二次不尽根，由§3定理2知:令我们来证明.定理1证明：由§2（2）式及§2定理2知:有两个整数使得下式成立则极易验证（2）.设有二整数存在，使得则由§2（2）式及§2定理2知把上式代入即得(3)令因为故因此是整数.由的定义知：故（2）对也成立,由数学归纳法定理得证.由此得证明：令的第个渐近分数是定理2若是一个非平方的正整数，即

2、定理1中定义，则二次不定方程有正整数解并且因是无理数，故得以乘第一式减去以乘第二式即得有一正整数解且由渐近分数的性质知推论若即定理1中所定义的，则（4）有无穷多个正整数解，即（4）故得是无理数，故.由定理2及即得:证明：由定理2知（4）有一整数解，即又由假设及定理1知定理3若d是一个非平方的正整数，则不定方程（pell方程）（5）有正整数解.(6)证明：由定理2的推论，有一正整数存在（只需使得不定方程有无穷多个正整数解，则在这无穷多组正整数解中一定有两组不同的正整数解使得下列关系成立故（7）由（6）式

3、即得故若令则为非负整数且由（7）知是（5）的一解.显然否则这与矛盾；并且否则由定理2知，因此但，故这与的定是（5）的一组正整数解.定理4若是（5）的一组正整数解，且是形如的最小数，则（5）式的一切正整数解可由下式确定：（8）证明：（Ⅰ）由（8）式确定的显然是正整数，并且成立.故（9）故由（8）式确定的是（5）的正整数解.（Ⅱ）假定（5）有一组正整数解；但对任何正整数来说因此有一整数存在使得不等式其中仿（1）可证得（10）由（9），（10）即得（11）由（9），（11）即得，即又由（9）（11）即得故练

4、习故由（10）知是（5）的一组正整数解;由（9）知的定义矛盾，因此定理得证.1.即定理4中所定义的，试证明（5）式的一切整数解可由下式确定2.证明不定方程的一切正整数解可以写成公式其中是正整数.