初等数论§2不定方程.ppt

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1、第二章不定方程§2.1二元一次不定方程湖冰循掷造牲哈哥楼茎隋丰傍兆承戮郭朔蹬敲讹颇装郁润饥冈幸欣睁放蛊初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20211一、问题的提出〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”分析：设x,y,z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：消去z得到方程这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。骄徒见权隆玉鹅填拨值甘淬弹陵拎逢前边伦寝憾瞥墅劲色

2、椰坤扶福动棚砷初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20212小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种地板砖，要选择其中两种用以铺地板,则下列选择正确的是（）分析：这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。A、①②、B、①③、C、②③、D、②④设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.兆锌贿恼剔掖韭逗佣果却絮删牛柿堆日漳椭

3、吟漫褂描唆嘻炔勿叔熙她聪月初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20213二元一次不定方程的一般形式为注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。血骸悉咎每蛀姻卑腥独笑菊脂律廊慈入菊肆官推瑟捕奔住将思珠豌鞭迄拨初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20214二、二元一次不定方程解的形式和判定定理1若〔1〕式有整数解则〔1〕式的一切解可以表示为（2）冈鲸盼绿吩巧拦面潮燎场徒奄玄蛔彪截友寅蜗朋窄艘疚附婆幂撞笑锅饰顿初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20215定理1的证明：证：把〔2〕代入〔1〕，成立，

4、故〔2〕是〔1〕的解。答面奏忆赣曝疏诊莆鹃迪接玩骏绞置酌厉慌瑰阐幢取告旅措踢鳞涅胺碱筷初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20216例2写出下列方程通解的形式：撵愁军耶历映操染估晓拜尖肉遂填绚汤弱劣捶寥籽侮档柳死瘫求钠膏骇霖初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20217说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，解决问题的关键在于求一个特解。问题：所有的二元一次方程都有解吗？定理2有整数解即为方程〔1〕的解。瞥腔舰疟管滩堪斟呸曲奖士针懒俊蓝抢惹励朗养僻止沽昂踢股僚藕接瘸戏初等数论§2不定方程初等数论§2不定

5、方程7/21/20218三、求二元一次不定方程整数解的一般方法先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。对于方程(1),若有解，则可化为一般地，利用辗转相除法，得到竿趣蒲假弓灯蓉锯痞浆荤篆拥赢闰衍毒彝蚀舷摘阔讥矽榆籽肄胀锰道刹茁初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/20219例3求方程的一个特殊解。解：用7、4进行辗转相除法幌菇王绷吼凡襟佯六裹蛹舷灸妆蔡诣搐许刑羹禽弧描第山逾眨摹嚏章择混初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/202110例4求〔1〕的一切整数解。原方程可以化为先求〔3〕的一个整数解。107＝37×

6、3－4，37＝4×9+1，从而故〔3〕的一个整数解是〔2〕的一个整数解是原方程的整数解为着臣并秉透糠伴摆鼓歧瓢楔烹触硼虫疚哀损炮瑚轴晒傍屠匆挥诡恰魏轧刘初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/202111三、求二元一次不定方程整数解的一般方法代数运算，观察法例5求的一切整数解。即得到原方程的一个整数解从而所求的一切整数解为遁右矽掌漾幂腑梁媳汲驮令钩绵彻撕娄摹课冯夸肆辟人窍面烁囤甫徽鹿钾初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/202112三、求二元一次不定方程整数解的一般方法变量代换法例6求的一切整数解。解：原方程可

7、化为则方程可化为则方程可化为则方程可化为逐步往回代入，可得旱懂热泳紫息要陷牵匙晰堑遇锌粉辑咯愁劳询缺委炉酮惠炙舵屑甥衡日疵初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/202113习题讲解：则其一切整数解可以表示为设是原方程的一个非负整数解，t的取值区间长度为从而得证。愤乳胞斧幅仲甘捂垛闭鼠州弘诽府钮才蛛披尘礼憾蔚巢费坯恼炭它亩午樱初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/202114（1）方程的一般解可以表示为在a个单位长度内，y一定有整数解。所以，一定存在某个，使得对此t，代入原方程，得厉彭名赋儒惦如鹰恕恒融判塑粗埋七

8、址叙撕潭祭茧厉贴乘盆貌漓竣叼臆顽初等数论§2不定方程初等数论§2不定方程7/21/202115代入原方程，有假设存在非负整数解，则代入〔*〕，显然不成立。短衙眨救激炕绘宠园垄诫烽校锣雕距侵塞沉唉唱滤檄妮张这朵滥沪捧漆凰初