初等数论2不定方程

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1、第二章不定方程§2.1二元一次不定方程1一、问题的提出〔百钱买百鸡〕鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”分析：设x,y,z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数，则可列出方程如下：xyz100消去z得到方程15x3yz1007x4y1003这里，方程的个数少于未知数的个数，在实数范围内，方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数〔或正整数〕解，这种方程〔组〕称为不定方程。2小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种

2、地板砖，要选择其中两种用以铺地板,则下列选择正确的是（）A、①②、B、①③、C、②③、D、②④分析：这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题，因为铺好的地板中间不能出空隙，所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360度角，并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。设需正三角形地砖m块，正方形地砖n块恰好铺成，则有60m+90n=360.3二元一次不定方程的一般形式为axbycabc,,,Zab,,0(1)例1求方程7x4y100所有正整数解.1007x7

3、xy2544x4,y18;x8,y11;x12,y4.注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。4二、二元一次不定方程解的形式和判定axbycabc,,,Zab,,0(1)定理1若〔1〕式有整数解xx0,yy0则〔1〕式的一切解可以表示为xxbty,yat,0101（2）ab其中，a,b,t0,1,2，1(,)ab(,)ab注：如果(,)ab1,则(1)的解为xxbty,yat.005定理1的证明：axbyc(1)证：把〔2〕代入〔1

4、〕，成立，故〔2〕是〔1〕的解。设x','y是(1)的任一解，又x,y是(1)的解.00所以有ax'by'axby.00ax('x)by('y)（*）1010(,)ab111a('yy)tZ,使得'yy＝at，1001即'yyat+01代入（*），得x'xbt.016例2写出下列方程通解的形式：(1)5x8y2;xx8,tyy5,tt0,1,2,00或xx8,tyy5,tt0,1,2,00(2)5x8y3;xx8,t

5、yy5,tt0,1,2,00(3)6x8y12;xx4,tyy3,tt0,1,2,00或xx4,tyy3,tt0,1,2,00(4)6x8y1.xx4,tyy3,tt0,1,2,007说明：定理1给出了方程通解的一般形式。这样，解决问题的关键在于求一个特解。问题：所有的二元一次方程都有解吗？例如6x8y1.定理2axbyc(1)有整数解(,).abc显然；，记d(,)ab若dc，则ccdc,Z.11d可以表示为

6、asbt.所以ccas(bt)1取xcsy,ct，11即为方程〔1〕的解。8三、求二元一次不定方程整数解的一般方法先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。对于方程(1),若有解，则可化为axbyc,(,)ab1(3)的形式一般地，利用辗转相除法，得到asbt1,则xcsy,ct.009例3求方程7x4y1的一个特殊解。解：用7、4进行辗转相除法7413374143111431所以，14(741)1,即7(1)421.从而，

7、x1;y2.0010例4求111x321y75〔1〕的一切整数解。解：(111,321)3原方程可以化为37x107y25(2)先求37x107y1〔3〕的一个整数解。107＝37×3－4，37＝4×9+1，从而1374937(373107)937(26)107(9)故〔3〕的一个整数解是x26,y9〔2〕的一个整数解是x2625,y925原方程的整数解为x2625107,ty92537,ttZ或者，x2625

8、107,ty92537,ttZ11三、求二元一次不定方程整数解的一般方法代数运算，观察法例5求107x37y25的一切整数解。25107x254x解：y3x3737254x37'25yy'1令y'x9'6y3744取y'1x3y8即得到原方程的一个整数解x03,y08从而所求的一切整数解为x337,ty8107,ttZ12三、求二元一次不定方程整数解的一般方法变量代换法例6求176x162y2的一切整数