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1、初等数论与小学数学主讲教师：刘古胜1.辗转相除法与最大公因数问题1.1：求？问题1.2：求？解：问题1.2：求？4935404221139129870893470414042357242342319470423047或问题1.2：求？定理1若是任一正整数,则与的公因数就是的因数,反之,的因数也就是与的公因数..定理2设是任意三个不全为的整数,且其中是非零整数,则与有相同的公因数,因而理论依据定理3若是任意两个整数,,且有下面的系列等式:则就是最后一个不等于零的余数,即理论依据2.算术基本定理与高斯函数问题2.1：问的末尾0的个数
2、？问题2.2：问或（即12600）的末尾0的个数？问题2.3：问的末尾0的个数？分析：只需求的标准分解式中质因数5的指数问题2.3：问的末尾0的个数？解：而的标准分解式中质因数5只来自于这2013中是5的倍数的数，这些数有个，只是这402个5的倍数中的的有些数只含一个5，有些数含2个5，有些数含3个5，有些数含4个5，当然没有含5个5的数，于是所以的末尾0的个数为501个.定义1一个大于1的整数,如果它的正因数只有1及它本身,就叫作质数(或素数);否则就叫作合数.定理1(算术基本定理)任一大于1的整数能表成质数的乘积,即任一大于
3、1的整数,,其中是质数,并且若,,其中是质数,则,,理论依据定义2函数是对于一切实数都有定义的函数,函数的值等于不大于的最大整数;函数称为的高斯函数，我们也把叫做的整数部分.定理2若是任意两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数是.定理3在的标准分解式中质因数的指数理论依据问题3.1:测算某同学的年龄?问题3.2（“物不知数”或“韩信点兵”）：“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”设是所求物数,则依题意3.韩信点兵与鬼谷算《孙子算经》里面所用的方法可以列表如下:除数最小公倍数衍数乘率余数各总
4、答数最小答数33×5×7=1055×7=352235×2×2=140140+63+30=233233-105×2=2357×3=211321×1×3=6373×5=151215×1×2=30其中乘率2、1、1分别是三个一次同余方程的解.定义1给定一个正整数,把它叫做模.如果用去除任意两个整数a与b所得的余数相同,我们就说a,b对模m同余,记作.如果余数不同,我们就说a,b对模m不同余,记作.定义2设是大于1的整数，且不能整除a，则称为模的一次同余方程；若整数c满足上述方程，则称是一次同余方程的一个解.理论依据定理1（大衍求一术）
5、设是大于1的整数，若，则一次同余方程有唯一解（这里为辗转相除所得到的n个不完全商）.理论依据定理2(孙子定理)设是k个两两互质的正整数,,,则一次同余方程组的解是理论依据其中，4.欧拉函数与欧拉定理问题4.1：求的末位数？问题4.2：求的末位数？分析：对问题4.2，可通过找规律求解.因为的末位数字为，，4个一循环，所以的末位数与的末位数相同，为9.问题4.3：求的末两位数？对问题4.3，末两位数是40个一循环，这里（前面），所以的末两位数与的末两位数相同，为29.为的欧拉函数，即1至100这100个数中与100互质的整数的个数，
6、又因为，所以问题4.3：求的末两位数？解：，.又，由欧拉定理得的末两位数末两位数相为29.，，定义欧拉函数是定义在正整数上的函数,它在正整数上的值等于序列中与互质的整数的个数.定理1设,则定理2（欧拉定理）设是大于1的整数，，则理论依据5.不定方程（组）问题5.1（“百鸡问题”）：“鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何?”问题5.2（“搬砖问题”）：“三十六块砖，三十六人搬，男人搬三块，女人搬一块，三个小孩抬一块。问男人、女人、小孩各多少人？”问题5.1（“百鸡问题”）：“鸡翁一,值钱五,
7、鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何?”解：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别有、、只，则有（1）消去z，得解得（为整数）不定方程组（1）的整数解为解不等式组得，又，方程组（1）的非负整数解为：（0、25、75）、（4、18、78）、（8、11、81）、（12、4、84）。有四种买法：（1）鸡翁0只、鸡母25只、鸡雏75只，（2）鸡翁4只、鸡母18只、鸡雏78只，（3）鸡翁8只、鸡母11只、鸡雏81只，（4）鸡翁12只、鸡母4只、鸡雏84只.定义方程(其中是整数,且都不是0)（1）称为二元一次不定方程.定理1二元一次
8、不定方程（1）有整数解的充分与必要条件是.若，则二元一次不定方程（1）的一个整数解为（这里为辗转相除所得到的个不完全商）.理论依据定理2设二元一次不定方程（1）有一整数解；又设,,则二元一次不定方程的一切解可以表成（）理论依据
