《初等数论》习题集参考答案

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1、附录1习题参考答案第一章习题一1.(ⅰ)由a½b知b=aq，于是b=(-a)(-q)，-b=a(-q)及-b=(-a)q，即-a½b，a½-b及-a½-b。反之，由-a½b，a½-b及-a½-b也可得a½b；(ⅱ)由a½b，b½c知b=aq1，c=bq2，于是c=a(q1q2)，即a½c；(ⅲ)由b½ai知ai=bqi，于是a1x1+a2x2+L+akxk=b(q1x1+q2x2+L+qkxk)，即b½a1x1+a2x2+L+akxk；(ⅳ)由b½a知a=bq，于是ac=bcq，即bc½ac；(ⅴ)由b½a知a=bq，

2、于是

3、a

4、=

5、b

6、

7、q

8、，再由a¹0得

9、q

10、³1，从而

11、a

12、³

13、b

14、，后半结论由前半结论可得。2.由恒等式mq+np=(mn+pq)-(m-p)(n-q)及条件m-p½mn+pq可知m-p½mq+np。3.在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a,a+1,L,a+9,a+19的数字和为s,s+1,L,s+9,s+10，其中必有一个能被11整除。334.设不然，n1=n2n3，n2³p，n3³p，于是n=pn2n3³p，即

15、p£n，矛盾。25.存在无穷多个正整数k，使得2k+1是合数，对于这样的k，(k+1)不能222表示为a+p的形式，事实上，若(k+1)=a+p，则(k+1-a)(k+1+a)=p，得k+1-a=1，k+1+a=p，即p=2k+1，此与p为素数矛盾。第一章习题二1.验证当n=0,1，2，…,11时，12

16、f(n)。22222.写a=3q1+r1，b=3q2+r2，r1,r2=0,1或2，由3½a+b=3Q+r1+r2知r1=r2=0，即3½a且3½b。k+4kk+4kk43.记n=10q+r,(r=0,1,…,9)，则

17、n-n被10除的余数和r-r=r(r-1)被10除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。2224.对于任何整数n，m，等式n+(n+1)=m+2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。202UnRegistered422225因a-3a+9=(a-3a+3)(a+3a+3)，当a=1，2时，a-3a+3=1，422422a-3a+9=a+3a+3=7，13，a-3a+9是素数；当a³3时，a-3a+3>1，242a+3a+3>1，a-3a+9是合数。6.设给定的n个整数为a1,a2,

18、L,an，作s1=a1，s2=a1+a2，L，sn=a1+a2+L+an，如果si中有一个被n整除，则结论已真，否则存在si，sj，i

19、a

20、是等价的，所以a1,a2,L,ak的公约数的集合与

21、a1

22、,

23、a2

24、,L,

25、ak

26、的公约数的集合相同，所以它们的最大公约数相等；(ⅱ)，(ⅲ)显然；(ⅳ)设(p,a)=d，则d½p，d½a，由d½p得d=1或d=p，前者推出(p,a)=1，后者推出p½a。2.(ⅰ)由

27、d½ai推出d½y0=(a1,a2,L,ak)；(ⅱ)分别以y0和Y0表示集合kk*A={y；y=åaixi，xiÎZ，1£i£k}和A={y；y=åmaixi，xiÎZ，1£i£k}i=1i=1a1a2ak中的最小正整数，显然有Y0=

28、m

29、y0；(ⅲ)在推论2中取m=d，并用,,L,ddd代替a1,a2,L,ak即可。3.(ⅰ)若p/

30、a，则(p,a)=1，从而由p½ab推出p½b；(ⅱ)在(ⅰ)中取a=b可得；(ⅲ)(a,b1b2Lbn)=(a,b2Lbn)=L=(a,bn)=1。4.由恒等式9(2x+3y)-2(

31、9x+5y)=17y及17½2x+3y得17½2(9x+5y)，又(17,2)=1，故17½9x+5y。222225.设(a,b)=d，则a=da1，b=db1，(a1,b1)=1，由a½bc得a1½b1c，a1½c，因为c无平方因子，所以a1=1，a=d，b=ab1，即a½b。132n-1132n-12n-12n-16.设(C2n,C2n,L,C2n)=d，由C2n+C2n+L+C2n=2知d½2，设kk+1k+11k+1i2ni-12

32、n并且2不整除n，由2

33、

34、C2n及2

35、C2n=C2n-1，i=3,5,L,2n-

36、1，得ik+1d=2。第一章习题四1.(ⅰ)，(ⅱ)显然；(ⅲ)设m1=[a1,a2,L,ak]，m2=[

37、a1

38、,

39、a2

40、,L,

41、ak

42、]，203UnRegistered则由ai½m1推出

43、aI

44、½m1，即m2½m1，同理可得m1½m2，故m1=m2；(ⅳ)显然a½

45、b

46、，b½

47、b

48、，又若a½m¢，b½m¢，m¢>0，则

49、b

50、£