《初等数论》习题集

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1、《初等数论》习题集第1章第1节1.证明定理1。2.证明:若m-p½mn+pq,则m-p½mq+np。3.证明:任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数的数字和能被11整除。4.设p是n的最小素约数,n=pn1,n1>1,证明:若p>,则n1是素数。5.证明:存在无穷多个自然数n,使得n不能表示为a2+p(a>0是整数,p为素数)的形式。第2节1.证明:12½n4+2n3+11n2+10n,nÎZ。2.设3½a2+b2,证明:3½a且3½b。3.设n,k是正整数,证明:nk与nk+4的个位数字相同。4.证明:对于任何整数n,m

2、,等式n2+(n+1)2=m2+2不可能成立。5.设a是自然数,问a4-3a2+9是素数还是合数?6.证明:对于任意给定的n个整数,必可以从中找出若干个作和,使得这个和能被n整除。第3节1.证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。2.证明定理2的推论1,推论2和推论3。3.证明定理4的推论1和推论3。4.设x,yÎZ,17½2x+3y,证明:17½9x+5y。5.设a,b,cÎN,c无平方因子,a2½b2c,证明:a½b。6.设n是正整数,求的最大公约数。第4节1.证明定理1。2.证明定理3的推论。3.设a,b是正整数,证明:(a+b)[a,b]=a[b,

3、a+b]。4.求正整数a,b,使得a+b=120,(a,b)=24,[a,b]=144。155.设a,b,c是正整数,证明:。6.设k是正奇数,证明:1+2+L+9½1k+2k+L+9k。第5节1.说明例1证明中所用到的四个事实的依据。2.用辗转相除法求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162)。3.计算:(27090,21672,11352)。4.使用引理1中的记号,证明:(Fn+1,Fn)=1。5.若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同,且不等于零,求除数和余数各是多少?6.记Mn=2

4、n-1,证明:对于正整数a,b,有(Ma,Mb)=M(a,b)。第6节1.证明定理1的推论1。2.证明定理1的推论2。3.写出22345680的标准分解式。4.证明:在1,2,L,2n中任取n+1数,其中至少有一个能被另一个整除。5.证明:(n³2)不是整数。6.设a,b是正整数,证明:存在a1,a2,b1,b2,使得a=a1a2,b=b1b2,(a2,b2)=1,并且[a,b]=a2b2。第7节1.证明定理1。2.求使12347!被35k整除的最大的k值。3.设n是正整数,x是实数,证明:=n。4.设n是正整数,求方程x2-[x2]=(x-[x])

5、2在[1,n]中的解的个数。155.证明:方程f(x)=[x]+[2x]+[22x]+[23x]+[24x]+[25x]=12345没有实数解。6.证明:在n!的标准分解式中,2的指数h=n-k,其中k是n的二进制表示的位数码之和。第8节1.证明:若2n+1是素数,则n是2的乘幂。2.证明:若2n-1是素数,则n是素数。3.证明:形如6n+5的素数有无限多个。4.设d是正整数,6d,证明:在以d为公差的等差数列中,连续三项都是素数的情况最多发生一次。5.证明:对于任意给定的正整数n,必存在连续的n个自然数,使得它们都是合数。6.证明:级数发散,此处使

6、用了定理1注2中的记号。第2章第1节1.证明定理1和定理2。2.证明定理4。3.证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。4.求81234被13除的余数。5.设f(x)是整系数多项式,并且f(1),f(2),L,f(m)都不能被m整除,则f(x)=0没有整数解。6.已知99½,求a与b。第2节1.证明定理1。2.证明:若2p+1是奇素数,则(p!)2+(-1)pº0(mod2p+1)。3.证明:若p是奇素数,N=1+2+L+(p-1),则(p-1)!ºp-1(modN)。154.证明Wilson定理的逆定理:若n>1,并且(n-1)!º-1(modn),则n

7、是素数。5.设m是整数,4½m,{a1,a2,L,am}与{b1,b2,L,bm}是模m的两个完全剩余系,证明:{a1b1,a2b2,L,ambm}不是模m的完全剩余系。6.设m1,m2,L,mn是两两互素的正整数,di(1£i£n)是整数,并且diº1(modmi),1£i£n,diº0(modmj),i¹j,1£i,j£n。证明:当bi通过模mi(1£i£n)的完全剩余系时,b1d1+b2d2+L+bndn通过模m=m1m2Lmn的完全剩余系。第3节1.证明定理1。2.设m1,m2,L,mn是两两互素的正整数,xi分别通过模mi的简化剩余系(1£

8、i£n),m=m1m2Lmn,Mi=,则M1x1+M2x2+L+Mnxn通过模m的简化剩余系。3.设m>1,

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