《初等数论》习题集参考答案

《初等数论》习题集参考答案

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1、附录1习题参考答案第一章习题一1.(ⅰ)由a½b知b=aq,于是b=(-a)(-q),-b=a(-q)及-b=(-a)q,即-a½b,a½-b及-a½-b。反之,由-a½b,a½-b及-a½-b也可得a½b;(ⅱ)由a½b,b½c知b=aq1,c=bq2,于是c=a(q1q2),即a½c;(ⅲ)由b½ai知ai=bqi,于是a1x1+a2x2+L+akxk=b(q1x1+q2x2+L+qkxk),即b½a1x1+a2x2+L+akxk;(ⅳ)由b½a知a=bq,于是ac=bcq,即bc½ac;(ⅴ)由b½a知a=bq,于是

2、a

3、=

4、b

5、

6、q

7、

8、,再由a¹0得

9、q

10、³1,从而

11、a

12、³

13、b

14、,后半结论由前半结论可得。2.由恒等式mq+np=(mn+pq)-(m-p)(n-q)及条件m-p½mn+pq可知m-p½mq+np。3.在给定的连续39个自然数的前20个数中,存在两个自然数,它们的个位数字是0,其中必有一个的十位数字不是9,记这个数为a,它的数字和为s,则a,a+1,L,a+9,a+19的数字和为s,s+1,L,s+9,s+10,其中必有一个能被11整除。334.设不然,n1=n2n3,n2³p,n3³p,于是n=pn2n3³p,即p£n,矛盾。25.存在无穷多个正整数k,使得2

15、k+1是合数,对于这样的k,(k+1)不能222表示为a+p的形式,事实上,若(k+1)=a+p,则(k+1-a)(k+1+a)=p,得k+1-a=1,k+1+a=p,即p=2k+1,此与p为素数矛盾。第一章习题二1.验证当n=0,1,2,…,11时,12

16、f(n)。22222.写a=3q1+r1,b=3q2+r2,r1,r2=0,1或2,由3½a+b=3Q+r1+r2知r1=r2=0,即3½a且3½b。k+4kk+4kk43.记n=10q+r,(r=0,1,…,9),则n-n被10除的余数和r-r=r(r-1)被10除的余数相同。对r=0,

17、1,…,9进行验证即可。2224.对于任何整数n,m,等式n+(n+1)=m+2的左边被4除的余数为1,而右边被4除的余数为2或3,故它不可能成立。202UnRegistered422225因a-3a+9=(a-3a+3)(a+3a+3),当a=1,2时,a-3a+3=1,422422a-3a+9=a+3a+3=7,13,a-3a+9是素数;当a³3时,a-3a+3>1,242a+3a+3>1,a-3a+9是合数。6.设给定的n个整数为a1,a2,L,an,作s1=a1,s2=a1+a2,L,sn=a1+a2+L+an,如果si中有一个被n整

18、除,则结论已真,否则存在si,sj,i

19、a

20、是等价的,所以a1,a2,L,ak的公约数的集合与

21、a1

22、,

23、a2

24、,L,

25、ak

26、的公约数的集合相同,所以它们的最大公约数相等;(ⅱ),(ⅲ)显然;(ⅳ)设(p,a)=d,则d½p,d½a,由d½p得d=1或d=p,前者推出(p,a)=1,后者推出p½a。2.(ⅰ)由d½ai推出d½y0=(a1,a2,L,ak);(ⅱ)分别以y0和Y0表示集合kk*A={y;y=åaixi,xiÎZ,

27、1£i£k}和A={y;y=åmaixi,xiÎZ,1£i£k}i=1i=1a1a2ak中的最小正整数,显然有Y0=

28、m

29、y0;(ⅲ)在推论2中取m=d,并用,,L,ddd代替a1,a2,L,ak即可。3.(ⅰ)若p/

30、a,则(p,a)=1,从而由p½ab推出p½b;(ⅱ)在(ⅰ)中取a=b可得;(ⅲ)(a,b1b2Lbn)=(a,b2Lbn)=L=(a,bn)=1。4.由恒等式9(2x+3y)-2(9x+5y)=17y及17½2x+3y得17½2(9x+5y),又(17,2)=1,故17½9x+5y。222225.设(a,b)=d,则a=d

31、a1,b=db1,(a1,b1)=1,由a½bc得a1½b1c,a1½c,因为c无平方因子,所以a1=1,a=d,b=ab1,即a½b。132n-1132n-12n-12n-16.设(C2n,C2n,L,C2n)=d,由C2n+C2n+L+C2n=2知d½2,设kk+1k+11k+1i2ni-12

32、n并且2不整除n,由2

33、

34、C2n及2

35、C2n=C2n-1,i=3,5,L,2n-1,得ik+1d=2。第一章习题四1.(ⅰ),(ⅱ)显然;(ⅲ)设m1=[a1,a2,L,ak],m2=[

36、a1

37、,

38、a2

39、,L,

40、ak

41、],203UnRegister

42、ed则由ai½m1推出

43、aI

44、½m1,即m2½m1,同理可得m1½m2,故m1=m2;(ⅳ)显然a½

45、b

46、,b½

47、b

48、,又若a½m¢,b½m¢,m¢>0,则

49、b

50、£

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