资源描述：
《北师大版(文科数学)不等式的证明名师精编单元测试.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（七十一）不等式的证明1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.(1)求证2ab＋bc＋ca＋c2≤1；22a2＋c2b2＋a2＋c2＋b2(2)求证b＋ca≥2.证明(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，2≤1所以2ab＋bc＋ca＋c＝1＋＋＋222(4ab2bc2cac)2.a2＋c2b2＋a2c2＋b2(2)因为≥2ac≥2ab≥2bcbb，cc，aa，
2、a2＋c2b2＋a2c2＋b2≥acababbcacbccbac所以b＋c＋ab＋c＋c＋a＋b＋a＝ab＋c＋bc＋a＋abcb＋a≥2a＋2b＋2c＝2.112．若a>0，b>0，且a＋b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)由ab＝1＋1≥2，abab得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于43>6，从而不存在a，b，使
3、得2a＋3b＝6.3．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，求证(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是
4、a－b
5、<
6、c－d
7、的充要条件．证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)①必要性若
8、a－b
9、<
10、c－d
11、，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2
12、－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.②充分性若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此
13、a－b
14、<
15、c－d
16、.综上，a＋b>c＋d是
17、a－b
18、＜
19、c－d
20、的充要条件．4．已知定义在R上的函数f(x)＝
21、x＋1
22、＋
23、x－2
24、的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证p2＋q2＋r2≥3.解
25、(1)因为
26、x＋1
27、＋
28、x－2
29、≥
30、(x＋1)－(x－2)
31、＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.5．已知函数f(x)＝
32、x－1
33、.(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；fab＞fb(2)若
34、a
35、＜1，
36、b
37、＜1，a≠0，求证
38、a
39、a.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐
40、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解(1)f(2x)＋f(x＋4)＝
41、2x－1
42、＋
43、x＋3
44、－3x－2，x＜－3，1＝－x＋4，－3≤x＜2，13x＋2，x≥2，10当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－3；1当－3≤x＜2时，－x＋4≥8无解；1当x≥2时，由3x＋2≥8，解得x≥2.所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为xx≤－10或x≥2.3(2)证明fab＞fb等价于f(ab)＞
45、a
46、fb，
47、a
48、aa即
49、ab－1
50、＞
51、a－b
52、.因为
53、a
54、＜1，
55、b
56、＜1，所以
57、ab－1
58、2－
59、a－b
60、2＝(a2
61、b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以
62、ab－1
63、＞
64、a－b
65、.故所证不等式成立．6．(2018武·昌调研)设函数f(x)＝
66、x－2
67、＋2x－3，记f(x)≤－1的解集为M.(1)求M；(2)当x∈M时，证明x[f(x)]2－x2f(x)≤0.x－1，x≤2，解(1)由已知，得f(x)＝3x－5，x>2.当x≤2时，由f(x)＝x－1≤－1，解得x≤0，此时x≤0；当x>2时，由f(x)＝3x－5≤－1，3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
68、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4解得x≤3，显然不成立．故f(x)≤－1的解集为M＝{x
69、x≤0}．(2)证明当x∈M时，f(x)＝x－1，于是x[f(x)]2－x2f(x)＝x(x－1)2－x2(x－1)＝－x2＋x121＝－x－2＋4.121令g(x)＝－x－2＋4，则函数g(x)在(－∞，0]上是增函数，∴g(x)≤g(0)＝0.22
