北师大版(理科数学)证明不等式的基本方法名师精编单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯[基础送分提速狂刷练]11．(2018·阳质检沈)已知函数f(x)＝

2、x－a

3、－2x(a>0)．(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)<0；(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)

4、x－3

5、－1，即－－1，2x

6、x3

7、2x<0x1原不等式等价于－2

8、2

9、x－a

10、－

11、x

12、＋2，原不等式等

13、价于

14、x－a

15、－

16、x

17、

18、x－a

19、－

20、x

21、≤

22、(x－a)－x

23、＝

24、a

25、，原不等式等价于

26、a

27、0，∴a1.故实数a的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·河北石家庄二模)设函数f(x)＝

28、x－1

29、－

30、2x＋1

31、的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图象；(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．解(1)因为f(x)＝

32、x－1

33、－

34、2x＋1

35、，1x＋2，x≤－2，所以f(x)＝－3x，－12

36、名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3(2)由(1)可知m＝2.因为32＝m＝a2＋2c2＋3b2＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，31所以ab＋2bc≤4，当且仅当a＝b＝c＝2时，等号成立．所以ab＋2bc的最大值为34.3．(2017·东肇庆统测广)已知函数f(x)＝

37、x＋1

38、，g(x)＝2

39、x

40、＋a.(1)若a＝0，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得

41、x＋1

42、≥2

43、x

44、，两边平方，并整理得(3x＋1)(1－x)≥0

45、，所以所求不等式的解集为1x－3≤x≤1.(2)解法一：由f(x)≥g(x)，得

46、x＋1

47、≥2

48、x

49、＋a，即

50、x＋1

51、－2

52、x

53、≥a.令F(x)＝

54、x＋1

55、－2

56、x

57、，依题意可得F(x)max≥a.F(x)＝

58、x＋1

59、－

60、x

61、－

62、x

63、≤

64、x＋1－x

65、－

66、x

67、＝1－

68、x

69、≤1，当且仅当x＝0时，上述不等式的等号同时成立，所以F(x)max＝1.所以a的取值范围是(－∞，1]．2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解法二：由f(x)≥g(x)，得

70、x＋1

71、≥2

72、x

73、＋a，即

74、x＋1

75、－2

76、x

77、≥a.令F

78、(x)＝

79、x＋1

80、－2

81、x

82、，依题意可得F(x)max≥a.1－x，x≥0，F(x)＝

83、x＋1

84、－2

85、x

86、＝3x＋1，－1

87、x－3

88、.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)

89、a

90、<1

91、b

92、<30

93、a

94、a解(1)因为f(x－1)＋f(x)＝

95、x－4

96、＋

97、x－

98、3

99、≥

100、x－4＋3－x

101、＝1，不等式f(x－1)＋f(x)

102、a

103、>fa.证明：要证fab>fb，只需证

104、ab－3

105、>

106、b－3a

107、，

108、a

109、a即证(ab－3)2>(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)．因为

110、a

111、<1，

112、b

113、<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立．5．(2017·州一模泉)已知函数f(x)＝

114、x＋1

115、＋

116、2x－4

117、.(1)解关于x的不等式f(x)<9；(2)若直线y＝m与曲线y

118、＝f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解(1)x≤－1，不等式可化为－x－1－2x＋4<9，3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴x>－2，∴－2－4，∴－1

119、－2

120、x＋1

121、＋2

122、x－2

123、，由题意作图如右，结合图象可知，A(3,6)，B(－1,6)，C(2,3)；

124、故3