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《北师大版(文科数学)不等式的证明名师精编单元测试.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(七十一)不等式的证明1.设a,b,c∈R+,且a+b+c=1.(1)求证2ab+bc+ca+c2≤1;22a2+c2b2+a2+c2+b2(2)求证b+ca≥2.证明(1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2,2≤1所以2ab+bc+ca+c=1+++222(4ab2bc2cac)2.a2+c2b2+a2c2+b2(2)因为≥2ac≥2ab≥2bcbb,cc,aa,
2、a2+c2b2+a2c2+b2≥acababbcacbccbac所以b+c+ab+c+c+a+b+a=ab+c+bc+a+abcb+a≥2a+2b+2c=2.112.若a>0,b>0,且a+b=ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解(1)由ab=1+1≥2,abab得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥2a3b3≥42,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b≥26ab≥43.由于43>6,从而不存在a,b,使
3、得2a+3b=6.3.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,求证(1)若ab>cd,则a+b>c+d;(2)a+b>c+d是
4、a-b
5、<
6、c-d
7、的充要条件.证明(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由题设a+b=c+d,ab>cd,1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)①必要性若
8、a-b
9、<
10、c-d
11、,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2
12、-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1),得a+b>c+d.②充分性若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此
13、a-b
14、<
15、c-d
16、.综上,a+b>c+d是
17、a-b
18、<
19、c-d
20、的充要条件.4.已知定义在R上的函数f(x)=
21、x+1
22、+
23、x-2
24、的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证p2+q2+r2≥3.解
25、(1)因为
26、x+1
27、+
28、x-2
29、≥
30、(x+1)-(x-2)
31、=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,即p2+q2+r2≥3.5.已知函数f(x)=
32、x-1
33、.(1)解不等式f(2x)+f(x+4)≥8;fab>fb(2)若
34、a
35、<1,
36、b
37、<1,a≠0,求证
38、a
39、a.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐
40、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解(1)f(2x)+f(x+4)=
41、2x-1
42、+
43、x+3
44、-3x-2,x<-3,1=-x+4,-3≤x<2,13x+2,x≥2,10当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-3;1当-3≤x<2时,-x+4≥8无解;1当x≥2时,由3x+2≥8,解得x≥2.所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为xx≤-10或x≥2.3(2)证明fab>fb等价于f(ab)>
45、a
46、fb,
47、a
48、aa即
49、ab-1
50、>
51、a-b
52、.因为
53、a
54、<1,
55、b
56、<1,所以
57、ab-1
58、2-
59、a-b
60、2=(a2
61、b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以
62、ab-1
63、>
64、a-b
65、.故所证不等式成立.6.(2018武·昌调研)设函数f(x)=
66、x-2
67、+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.(1)求M;(2)当x∈M时,证明x[f(x)]2-x2f(x)≤0.x-1,x≤2,解(1)由已知,得f(x)=3x-5,x>2.当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,解得x≤0,此时x≤0;当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
68、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4解得x≤3,显然不成立.故f(x)≤-1的解集为M={x
69、x≤0}.(2)证明当x∈M时,f(x)=x-1,于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x121=-x-2+4.121令g(x)=-x-2+4,则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,∴g(x)≤g(0)=0.22