数列的最大项与最小项.doc

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1、数列的最大与最小项问题学习要点：数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题，也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法：1．直接求函数的最大值或最小值，根据的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据本身的性质求出的最值，也可以考虑求导解决，但必须注意，不能直接对求导（因为只有连续函数才可导），而应先对所在的函数求导，得到的最值，然后再分析的最值.2．考察的单调性：，然后根据的单调判断的最值情况.3．研究数列的正数与负数项的情况，这是求数列的前n项和的最大值或最小值的一种重要方法.[例1]首项为正数的等差数列，它的

2、前4项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大？[解法一]记的前n项和为，[解法二]由解法二知是首项为正数的单调递减数列，∴所有的正数项的和最大，中前7项为正数项，从第9项开始各项为负数，而最大.[评析]解法一抓住了是二次函数的特点，通过配方法直接求出了最大项.而解法二通过考察的单调性与正、负项的情况得到最大项.[例2]设等差数列的前n项和为，已知（I）求公差d的取值范围；（II）指出中哪一个最大？说明理由；（III）指出中哪一个最小？说明理由.[解析]（I）①，②，由①、②得（II）由①、②得为递减数列，（III）这六项为负值，而其余

3、各项均为正数，的最小项只可能是这六项中的一项，最小.[评析]通过讨论数列中的正、负项（并结合讨论单调性）是求数列前n项和的最大、最小值的重要方法.[例3]设Z，当n是什么数时，取最小值，并说明理由.[解析]（1）当（2）当时，考察的单调性，①当单调递增，②单调递增；而当综上，当n=50或n=51时，[评析]命题中的数列是比较特殊的数列，虽然解题方案上还是通过考察数列的单调性，但具体过程更灵活.[例4]已知函数是奇函数，正数数列满足：（I）若的前n项和为；（II）若中的项的最大值和最小值.[解析]（I）由条件得由条件得（II）[评析]由于是关于的

4、二次函数，所以选择配方法完成，但与普通二次函数不同的是函数的定义域不是连续的数集，而是由间断的实数构成，这也是数列中才会出现的特点.[例5]求数列的最大项与最小项.[解析]通过计算可知：当时单调递减，由此可得最大项与最小项，但是用一般方法：却证明不了的单调性.考察函数的单调性，∵lnlnx，两边对x求导得：[解法二]用数学归纳法证明当即时命题也成立，.下同解法一.[评析]这是比较困难的问题，因此采取了与前面一些例题不同的特殊方法来证明数列的单调性.《训练题》一、选择题：1．数列中（）A．最大，而无最小项B．最小，而无最大项C．有最大项，但不是D

5、．有最小项，但不是2．已知的最大项是（）A．第12项B．第13项C．第12项或第13项D．不存在3．数列的通项公式是中最大项的值是（）A．B．108C．D．1094．已知数列的通项公式为（）A．存在最大项与最小项，且这两项的和大于2B．存在最大项与最小项，且这两项的和等于2C．存在最大项与最小项，且这两项的和小于2D．既不存在最大项，也不存在最小项5．设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．的最大值6．设等差数列的前n项和为，并且存在一个大于2的自然数k，使则（）A．递增，有最小值B．递增，有最大值C．递减，有最

6、小值D．递减，有最大值二、填空题：7．设的最大值为8．是等差数列，是其前n项和，则在中最小的是9．等比数列中，首项表示它的前n项的乘积，则最大时，n=10．设等差数列满足：最大时，n=三、解答题：11．已知数列的通项公式的前多少项之和最大？并求其最大值.（取）12．设数列的前n项和为，已知中的最大值.13．数列为正项等比数列，它的前n项和为80，前n项中数值最大的项为54，而前2n项的和为6560，试求此数列的首项和公比q.14．已知数列中：，（I）求（II）若最小项的值；（III）设数列{}的前n项为，求数列{}的前n项和.15．数列中，.（

7、I）若的通项公式；（II）设的最小值.《答案与解析》一、1．C2．C3．B4．A5．C6．D二、7．8．9．1210．2011．的等差数列，而所有的正数项之和最大，令12．为最大值.13．（也可由公式得到），为最大项，即14．（I）（II）（III）①当时，②当15．（I）①当n为奇数时，②当n为偶数时，（II）①当n为偶数时，=（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n－1）－54]=3[1+3+5+…+（n－1）]②