数列中的最项或最小项问题的求解.doc

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1、数列中的最大项或最小项问题的求解方法法一：利用单调性①差值比较法若有，则，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若有，则，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.②商值比较法若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是单调递减数列，所以数列的最小项为.③利用放缩法若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.法二：先猜后证通过分析，推测数列的某项(

2、k∈N*)最大（或最小），再证明对于一切n∈N*都成立即可.这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.例1已知函数，Sn是数列的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且Tn是数列的前n项和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n，Sn）在曲线上，又，所以.当n=1时，.当n>1时，当n=1时，也满足上式，所以.（Ⅱ）因为①所以②③②－③得.整理得④利用差值比较法由④式得，所以因为，所以.又，所以所以，所以.所以Tn存在最大值利

3、用商值比较法由④式得.因为所以，即.所以/所以Tn存在最大值.利用放缩法由①式得，又因为Tn是数列的前n项和，所以.所以所以Tn存在最大值.先猜后证通过分析，推测数列的第一项最在.下面证明：.方法①分析法因为，所以只要证明.即只要证明.只需要证明.即只要证明由二项式定理得且时，所以成立.所以成立.所以存在最大值.方法②利用数学归纳法（i）当n=2时，因为，所以，不等式成立.（ii）假设时不等式成立，即.则当时，由①式得所以.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由（i）（ii）得，对于一切且，总有成立.所以存在最大值.数

4、列是一种特殊的函数，其通项公式可以视为函数的解析式.因此可以通过判断函数单调性的方法来求函数的最大值，然后通过分析求出数列的最大项.但如果函数的单调性较难判断，那就需要探求另一种途径来解决.例若数列的通项公式，求的最大项.解：设是数列中的最大项，则，即解，得，又∵，∴或9，.当时，，∴的最大项为.对于这种解法，不少同学可能会存在疑问.下面将可能出现的疑问一一展示，加以分析，以探究问题的实质及其解决方法.疑问1：为什么要单独讨论的情况？分析：由于这个不等式中出现了下标，而数列中的项应该从1开始，因此，即。故应考虑的情况.疑问

5、2：用这个不等式组求出的一定是最大项吗？分析：用求出的不一定是最大项，而只是比前后两项都不小的项，也就是数列这个特殊函数的极大值.疑问3：用这个不等式组求出的项唯一吗？分析：正如一个函数可能有多个极大值一样，一个数列中很有可能存在很多个比前后两项都不小的项，因此这样求出的项不唯一.疑问4：如果用这个不等式组求出的有多个，那么如何处理？分析：将求出的这些对应的项比较大小，取最大者，然后与比较.疑问5：为什么要与比较？分析：由于这个不等式组求得的是时的最大项，因此还需要与比较，二者最大的即为的最大项.正如我们在求函数最大值时，

6、采取比较端点值和极大值的方法，原理是一样的.疑问6：若不等式组无解，又该如何处理？分析：若此不等式组无解，那么此数列无极大项，因此最大项只可能在首项或末项取得.这与当函数无极大值时，最大值必在端点处取得的原理一致.疑问7：若求得两个相邻的正整数，也要比较这两项的大小吗？分析：像本道例题中，或9，而我们发现，同为该数列的最大项.对于一般数列，若用这种方法求出两个相邻的正整数，则.因此，它们对应的项大小相等，不必另行比较.疑问8：若数列对应的函数具有单调性，也能用这种方法求其最大项吗？分析：若函数具有单调性，则不等式组无解，问

7、题又回归到疑问6，最大项即为首项或末项（若该数列是有穷数列，只需比较首、末两项，择其大者，即为最大项；若该数列是无穷数列，则最大项要么为首项，要么不存在，视该数列的单调性而定）.通过对上述疑问的一一分析，对其进一步探究，我们发现：“极值法”求数列最大项的原理与“极值法”求函数的最大值一致.因此，我们可以得出结论：“极值法”求数列最大项是求数列最大项的通法.例2在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．解（Ⅰ）由（N*），，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故

8、，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）解：设，　　　①　　　　　　　　②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：．　　　　③由，知，要使③式成立，只要，因为．所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．评注本题（Ⅲ）设计非常精彩