学案6：数列中的最值问题

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1、学案6：数列中的最值问题姓名班级运用数列单调性求最大（小）项数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或其子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思、想和方法去研究。对于数列｛%｝而言，若an+1,则其为递减数列，若，则其为常数列，运用其单调性可求出一•些常见数列的最值。一.整式（一次，二次）函数为背景的数列（利用二次函数单调性）例1.已知等差数列｛aj（d<0）其前n项和为Sn，若S9=S17,问匕｝中哪一项最大?点评:等差数列中,①当岚时,::囂。时,»最大。②当公差d>

2、叫玄：心时'»最小。二.无理根式函数为背景的数列（利用函数单调性）例2.数列｛%｝满足an=n-,求仏｝中的最小项点评：注意隐含条件an<0,否则会得出an+10,a>0）为背景的数列（利用函数单调性）X例3.已知数列％=—（neN*），则该数列中的最大项是第儿项？n2+156四.以分式函数为背景的数列（利用函数单调性）例4.已知％=n~^（neN＞）则在数列仏｝的前30项中最大项和最小项分别是n-a/98例5.已

3、知》=1+出+…+牛（2），记an=S2n+1-Sn+1,求数列£｝的最小值。（利用作差法及放缩法）一.混合型数列（由一个等差数列和一个等比数列的对应项的积组成的数列称为＜差比混合数列〉）例6.己知无穷数列｛-｝的通项公式a』（n+l）,试判断此数列是否何最大项，若有，求出第几n10n项最大，若没有，说明理山。（利用作差法）小结：会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题;（1）、若｛陽｝中的最人项为％贝'J⑵、若｛%｝中的最小项为％贝『“叫a»ak~ia§%】学案5：数列中的最值问题参考答案姓名班级运用

4、数列单调性求最大（小）项数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集（或英子集）上的函数，因此也具有单调性，可用函数的思想和方法去研究。对■于数列｛a“｝而言，若anan+1,则其为递减数列，若an=an+1,则其为常数列，运用其单调性可求岀一些常见数列的最值。一.整式（一次，二次）函数为背景的数列（利用函数单调性）例］.已知等差数列｛aj（d<0）其前n项和为Sn，若S9=S17,问｛sj中哪一项最大?解：因为S9=S17y3

5、0+H

6、

7、+•••+a17=0又因为a】。+aI7=a

8、u+a】6=a12+a15=a13+a14所以数列｛5｝单调递减，于是a13>0,aI4<0.a13+al4=0,因为d<0S14最大点评：等差数列中,①当d<。时,»最大。②当公差d>0时;:駕时,Sk最小。二.无理根式函数为背景的数列（利用函数单调性）例2.数列｛an｝满足an=ri-+,求｛%｝中的最小项解：an=n-7n2+1=,/.an

9、错误结论，在（2）中用到了分子有理化技巧，这是根式运算常见的一种方法。三.以函数y=x+9（x>0,a〉0）为背景的数列（利用函数单调性）X例3.已知数列a=—（neN*），则该数列中的最大项是第儿项?n2+156W：得忍二］，由隊I数y=x+—（x>0）知在（0.V156）上为减两数。在（71冠+8）为增函数。n"156xn+——当且仅当x=V156时，函数取最小值，ff5neN要使n+-!^-的值最小，应使n=[VT张]。n通过计算验证,可得n=12或13时,a*最大。/.a12=a13为数列伉｝中的最大项。一

10、.以分式函数为背景的数列（利用函数单调性）例4.已知知=n~yZ（neN*）则在数列｛5｝的前30项小最人项和最小项分别是—n~a/98n-797(V98-V97解:,=1；——n—丁98n—丁98数列中的项是函数f（x）=l+顷-妬上孤立的点，而f（x）的图象是由y=T98-V97右移極x-a/98x个单位再上移1个单位得到的，因此f（X）在（-00,798）上是减函数。在（V98,+oo）上也是减函数，从而可知当n=9时a*最小,n二10时，a*最大。.•.最人项和最小项分别为a10,a90例5.若Sn=14-丄

11、+丄+...+丄（nwN）itian=S2n+1-Sn+1,求数列｛a“｝的最小值。（利用作差法）23n解:an=S2n+l_Sn+i+・・・+12n+l则a+a厂丄+丄-丄>丄+丄-丄=——>02n+12n+3n+22n+22n+4n+22n+22n+4••5+1>f/.｛aj为递增数列，｛an｝«

12、'的最小项为a严丄五.混合型数列（由一个等