数列最值问题.doc

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1、数列的最值问题教学目的1、会通过研究数列通项的规律，判断其前n项和的最值情况；2、会利用函数思想研究数列的最值问题；3、会利用求数列中最大（小）项的一般方法研究数列的最值问题；4、体验数列问题和函数问题之间的相互联系和相互转化。数列的最值问题是一类常见的数列问题，是数列中的难点之一，也是函数最值问题的一个重要类型，数列的最值问题大致有以下2种类型：类型1求数列的前n项和的最值，主要是两种思路：（1）研究数列的项的情况，判断的最值；（2）直接研究的通项公式，即利用类型2的思路求的最值。类型2求数列的最值，主要有两种方法：（1）利用差值比较法若有，则，则，即数列是单调递增数列，所以数列的

2、最小项为；若有，则，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.值；（2）利用商值比较法若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；5若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是单调递减数列，所以数列的最小项为.例1、在等差数列中，，为前n项和，求的最大值。解法1：研究数列的正数与负数项的情况，又，当n=10或n=11时，取到最大值55。解法2：，当n=10或n=11时，取到最大值55。练习：已知等差数列（d<0）其前n项和为，若，问中哪一项最大？解：因为又因为，因为d<0所以数列单调递减，于是最大例2、已知函数，Sn是数列的前n项和，点（n，Sn

3、）（n∈N*）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且Tn是数列的前n项和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n，Sn）在曲线上，又，所以.当n=1时，.当n>1时，5所以.（Ⅱ）因为①所以②③②－③得.整理得，④策略一利用差值比较法由④式得，所以因为，所以.又，所以所以，所以.所以Tn存在最大值策略二利用商值比较法由④式得.因为所以，即.所以/5所以Tn存在最大值.练习：1.(2014杭州市一模数学（理）试题）设数满足：．(I)求证：数列是等比数列；(Ⅱ)若，且对任意的正整数n，都有，求实数t的取值范围．2.（浙江省温

4、州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知数列的前项和.(Ⅰ)证明:数列是等差数列;(Ⅱ)若不等式对恒成立,求的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)当时,得,当时,,两式相减得即,5所以又,所以数列是以为首项,为公差的等差数列3.已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若对一切均成立，求的范围；解：（1）由题意得，解得，（2）由（1）得，①②①-②得.，设，则由得随的增大而减小时，5又恒成立，4.在数列中，an(n∈N*)，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若对于一切n>1的自然数，不等式恒成立，试求实数a的取值范围.解：（Ⅰ）因为，an(n∈N*)，a=

5、1，所以an>0.所以.所以.而a1=1，所以.（Ⅱ）设(n∈N*)，m由（Ⅰ）知，所以，所以，所以.所以数列是单调递增数列.所以当时，bn的最小值为.所以要使对于一切n>1的自然数，不等式恒成立，则需且只需，则.所以，解之得.故所求实数a的取值范围为.5