数列最值问题的反思与总结.doc

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1、等差数列中的最值问题引例：【2008·宁夏海南·17·】已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.求数列{an}前n项和Sn的最大值.题型特征：求Sn最值/n为何值时，Sn有最值/数列不等式恒成立问题。解决方法.法一：从Sn的形式入手，从函数角度看，Sn可以看作是不连续的关于n的二次函数式，Sn=An2+Bn,通过配方或借助二次函数对称轴处取值去解决。法二：求导。注意求导时要新令f(x)出来，再求f¢(x)，因为Sn不连续，不能直接求导。Sn若求最值，看f¢(x)，f¢(x)的图象是一次函数，令f¢(x)=0，若f¢(x)的斜率小于0，则此处有

2、最大值（“左正右负即左增右减”）。若f¢(x)的斜率大于0，则此处有最小值（“左负右正即左减右增”）。法三：通项公式法。也叫邻项变号法，一个意思，其实质是找数列正负转折项。即，若数列{an}是等差数列，求其前n项和的最值时，①，a1>0，d<0时，an³0，且an+1£0，则此时Sn有最大值。②，a1<0，d>0时，an£0，且an+1³0，则此时Sn有最小值。解出相应的n与Sn即可。法四：前n项公式法。①.若Sn取最大值，则Sn³Sn-1，Sn³Sn+1，n³2，nÎN*②若Sn取最小值，则Sn£Sn-1，Sn£Sn+1，n³2，nÎN*分别解之，即可。解

3、题过程中需要注意的几个情况：（1）“等差数列中，当且仅当n=m时，Sn取最小值”。这种类型的题目中这句话关键信息有三点：①d>0.②等差数列{an}不存在值为0的项.③am是最后一个负数。此时，{an}大致的排列方式：负、负、负……负、正、正、正……，所以如果说“当且仅当n=m时，Sn取最小值”，此时用通项法或者前n项和公式法时，不取“=”号。如果说没有强调当且仅当，只是说数列{an}存在最小值，那么大致的排列方式会是：负、负、负……负、零、正、正、正……此时用通项法或者前n项和公式法时，要取“=”号。（2）同样的，“等差数列中，当且仅当n=m时，Sn取最大

4、值”这种类型的题目中这句话关键信息有三点：①d<0.②等差数列{an}不存在值为0的项.③am是最后一个正数。此时，{an}大致的排列方式：正、正、正……正、负、负、负……，所以如果说“当且仅当n=m时，Sn取最大值”，此时用通项法或者前n项和公式法时，不取“=”号。如果说没有强调当且仅当，只是说数列{an}存在最大值，那么大致的排列方式会是：正、正、正……正、零、负、负、负……此时用通项法或者前n项和公式法时，要取“=”号。番外：遇到“非差非比”数列与函数、不等式结合的最值问题。(1)求数列{an}前n项的最值和Sn的最值。三个思路，①研究an=f(n)项

5、的情况解决（通项）。②直接从Sn的形式入手解决。（前n项和）③求导。(1)求数列{an}项的最值，类似地，①研究an=f(n)项的情况解决（通项）。②利用数列离散的特点，考察an³an-1，an³an+1，n³2，nÎN*情况或an£an-1，an£an+1，n£2，nÎN*，即可判断出{an}的项的最值情况。③求导，同上。(2)数列不等式恒成立问题。①分参（参变分离）转化为数列最值问题求解。②分类讨论解决③求导。