数列中的最值的求法.doc

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1、数列中的最值的求法【考纲要求】能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题[来源:学

2、科

3、网]【基础知识】1、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性。有些特殊的方法要理解并记住。2、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等。例在等差数列中，，为前n项和，求的最大值。解：由题得所以，当n=10或n=11时，取到最大值55。【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n项和可以看作是一个关于n的二次函数，利用图像解答

4、。例在等比数列{an}中，，公比，且，a3与a5的等比中项为2。（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值。解：（1），；当；当，[来源:学,科,网][来源:Z#xx#k.Com]最大。（图像如图所示）例已知数列中，则在数列的前项中最小项和最大项分别是（）A.B.C.D.解：由题得函数的渐近线为和，如图所示：所以数列最小的项为最大的项为所以选C.例已知数列的通项公式，，求的最大值。解：故当时，；当时，；当时，；所以的最大项为所以的最大值为（1）求数列的通项公式；（2）若函数求函数的最小值；（3）设表示数列的前项和，试

5、证明：．方法四基本不等式法使用情景有一正二定三相等的数学情景解题步骤先求函数的表达式，再利用基本不等式解答。例广州市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引进该设备可获得的年利润为50万元。（1）引进该设备多少年后，开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出。问哪种方案较为合算？并说明理由。解：（1）所以3年后开始盈

6、利。（2）方案一：当且仅当n=7时取等，所以方案一最后的利润为，方案二：时利润最大，所以方案二的利润为102+8=110，所以方案一合算。例在数列中，（），其中k是常数，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的最小项.解（Ⅰ）因为（），所以，即.当时，.以上n-1个式子相加得，即.又，所以，即.当n=1时，上式也成立.所以数列的通项公式为.（Ⅱ）为考查数列的单调性，注意到，可设函数，则，即..所以数列的最小项为.[来源:学科网][来源:学。科。网]（3）当a5=a6，即，即k=30时，.所以数列的最小项为.（4）当且时，且，则，[来源:学*科*网].所以数列的最

7、小项为.（5）当时，且k<36，则，.所以数列的最小项为.综上所述：当k=25时，数列的最小项为a5=10；当时，数列的最小项为；当k=30时，数列的最小项为a5=a6=11；当30

8、xx

9、k.Com]【高考精选传真】

10、1、(2012高考真题四川理20)(本小题满分12分)已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。[解析]取n=1,得①取n=2,得②又②-①，得③（1）若a2=0,由①知a1=0,[来源:Z。xx。k.Com](2)若a2,④由①④得：…………………5分（2）当a1>0时,由（I）知，当,(2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=[来源:学科网]所以令所以，数列{bn}是以为公差，且单调递减的等差数列.则b1>b2>b3>…>b7=当n≥8时，bn≤b8=所以，n=7时，Tn取得最大值，

11、且Tn的最大值为T7=【反馈训练】1、等差数列通项，那么当最小时，求的值。2、已知数列的通项，求数列中的最大项和最小项。3、已知等比数列中求其前3项和的取值范围。4、已知数列的通项公式，试问数列有没有最大项?若有，求最大项和最大项的项数；若无，说明理由。(1)求；（2）设，是否存在最小的正整数，使对任意有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。8在数列中，an(n∈N*)，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若对于一切n>1的自然数，不等式恒成立，试求实数a的取值范围.12.设Z，当n是什么数时，[来源:学*科*网]取最小值，并说明理由.13.已知函数，Sn是数列的

12、前n项和，