探究绝对值函数最值的求法.doc

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1、探究绝对值函数最值的求法及应用陕西省西乡县第二中学：王仕林邮编：7235002011年陕西省理科高考试题第14题。题目是：植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米。该题考查了求绝对值函数的最小值问题，转化为求函数y=lx-10l+lx-20l+lx-30l+lx-2001的最小值问题。另外2009年上海高考有一道数学试题；其题目是：某地街道呈现东一西、南—北

2、向的网络格状，相邻街距都为1。两街道相交的点称为格点。若以互相垂直一两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5)(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)为发行站，使6个零售点沿街道发行站之同路程的和最短。该题也需要转化为求绝对值函数z=2lx+2l+2lx-3l+lx-4l+lx-6l+ly-ll+ly-2l+ly-3l+ly-4l+ly-5l+ly-6l的最小值问题。那么如何求这种多个绝对值和的函数的最小值问题呢？对此，笔者运用以下方

3、法进行了探索研究，得出了解决这种问题的基本方法，以此与各位同仁商榷。一、利用函数图象研究这类函数的值域，从而达到求函数的最值：山于含绝対值函数可以等价化为分段函数，因此运用函数的图象求函数的最值。例1求函数y=l2x-ll的最小值。2x-l(^>—解：山于函数y=l2x-ll=2,-2x+l(x<—)2作岀其图象如右图：曲图象可知其当x=-时,2原绝对值函数的最小值为0。例2求函数y=12兀一11+12x+21的最小值。4x+l(x>^)解：山于该函数y=l2x-l1+12x4-21=<3(-—

4、，細其图彖如右图所示。则当--<%<丄时，其函数的最22小值为3：例3、求函数y=lx+ll+lx・ll+lx・2l的最小值。解：山于该函数可化成分段函数，则3x-2(x>2)x-4(l

5、-x2(x>x2)y=]x2~^x(xiw兀§尤2)-2x+x,+x2(xx3)x+x3-x2-x](x2

6、象中知：当口仅当x=x2时该函数的最111•1I小值为兀一兀1。在Xs证明如下：山于函数y=1兀一兀]丨+丨兀一吃I+I尤一兀3I（石V兀2<兀3）该函数等价于以上两个结论可推广到任意n个绝対值的和的最值问题。结论如下：推论1:对于函数y=x-x}I+1x-x21+•-+1x-x2„_jI+1x-x2llI(%!

7、时,函数y有最小值为(兀“_坷)+(兀2“-1_勺)+…+(兀+2一£-1)+(£+i_£)(応NT。推论2:对-于函数y=1

8、兀一兀］丨+・・・+丨兀一兀21+…+1兀一兀2“-1I(X,<

9、题，考查的知识点是绝对值求和的最值问题。先将该题放在数轴上来研究°即将实际问题抽象成数学问题，通过建立数学模熨来解决此问题。解：以一段直线公路为兀轴,设领収树苗的坐标为X时，每位同学前來领取树苗往返所走的路程和为y米，则建立如图所示的数轴坐标系。10203040190200y=2lx・l()l+2lx・20l+2lx・30l++2lx€6OI,根据推论1可知：当且仅当100