函数最值求法探究

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1、函数最值求法的探究合肥市第六中学高一（1）班王昊夏承源张旭徐刘辰亮在中学数学中，常遇到一些问题，它们在许多情况下可以归结为求函数的最值（值域）问题。函数最值在数学中有看重耍的作用，探究函数的最值，是研究甫数性质、不等式求解等一些问题的解决手段z—。因此对于我们中学生来说（特别是高屮生），函数最值问题是一个重点和难点（这一点也在平时的学习中体现出来）。对于函数最值的求法，多种多样，范围很广，且相互交织，很是有趣。这里，我们研究一些常用的函数最值求法。对于最大值和最小值，通常记作九和瞌。一.单调性法用单调性来求最值是一类常用的求最值的方法。这种方法比较基础但乂十

2、分重要，它经常与下文的其他方法交叉使用。在使用吋，注意函数的定义域和题日中的限制条件。我们来看以下一个简单的例子以说明问题。例1.求函数y=无+纟在［-V^,O）U（O,V^］上的值域。X我们首先必须知道这样一个基础的单调性知识：形如y=x止的函数在（-00,-7^］和X［花+oo）上单调增，在卜花o）和（o,JT

3、上单调减。那么不难看出这个函数在卜饥,0）上的值域为（-8,2诙］,在（0,V^J上的值域为［2娠,+00）。所以，值域为（-oo,-2V^Ju［2^+00）。注使用单调性求最值（值域）往往耍掌握一些基本函数的单调性才能熟练运用之。另外，一般在实

4、际运用时，很少出现只用单调性求最值的问题，一般要联系换元、复合函数单调性等多种方法解决问题。二.配方法可以转化为二次函数的问题（一般涉及换元），我们一般用配方法解题。配方法是一种处理涉及二次函数的最值问题的比较快捷简便的方法之一。如：例2.已知：X,和兀2是方程/-伙-2）x+伙2+3R+5）伙wR）的两个实根，则X）24-%2的最大值是（）A.19B.18C.5-D.不存在9事实上，首先知道原方程一定有实根，所以A>0n3疋+16鸟+16503解得一45£5—o4由韦达左理，Xj+兀2二比一2,=k"+3k+5,我们设/（£）=彳+兀；=（舛+兀2）2-2

5、兀］兀2，（转化为比的函数！）则有而/⑹在-4,-

6、上是减函数，易知R时，(西+花)爲=18•・•・选B.■3"注我们在求函数的最值时，注意定义域。如本题中，若不先判断出来kw-4,--而是直4接用韦达定理得到①式，就可能误选A。所以，探究最值时，一定要注意！对于二次函数形式的复合函数，我们可以转化为一个这样的函数：f(x)=a[g(x)]2+bg(x)+c其中a,b,c是常数。这种函数我们也可以用配方法处理Z：f(x)=a[g(x)-—]2+4ac-其实这正体现了换元法。再看：2a4a例3.设/(x)=cos2x+2psinx+q,且有,皿=10,fmi

7、n=7,求P，q的值。令t=sinx,则-15/51,原式化为/a—pF+p'+q+l注意到最值的取得与〃有关，于是分类讨论：i.p>1,时/⑴在[-1,1]上为增函数，10=4ax=芦⑴=-(1-p)2++q+1=2p+g,7=Znin=_(_1_P)?+#2+g+]=_2p+g,317解得0=2詡=乂，矛盾！42".事实上，同，.知pv-l也不可能。Zz7.-l

8、2/^若人m=/(T)=7=-2p+g,③①③联立，得〃=-1+希，q=5+2x/i注注意分类讨论。这个例子说明了转化的妙处。我们把三角函数转化为二次函数处理，方便了解题。一.判别式法对于一些特殊形式的函数(如分式函数等)，如果进行适当变形把y(要求最值的函数)出现在一个有实数根的一元二次方程的系数中，就可以通过判别式△»()求得最值。例°求尸777R的最值。首先将原式变形：y?+(y—2)x+y=o,•・•兀是实数.A=(y-2)2-4y2>02m-2

9、><1)=--注用此法求函数最值，注意AYO是表示A>0或△=(),不是两者同时成立。所以解出y的范围后，(如a0解得+山)=4+価,得兀=呼，代回原式，得儿ax=y(呼)=4+VTU由y=4-怖，得*-亟，代回原式，2Amin=『(-乎)=4工4_価

10、我们发现4-廊不是最小值。这时从定义域上分析。因为定