解析几何中种最值的求法探讨.doc

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1、解析几何中几种最值的求法探讨湖北省随州市欧阳修中学莫春玲圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。一、定义法根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。例1、已知抛物线，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使

2、AP

3、+

4、PF

5、取最小值，并求的最小

6、值。分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则

7、AP

8、+

9、PF

10、=

11、AP

12、+

13、PQ

14、,即为最小值。OF(1,0)xA(3,1)yQP解：如图，,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，则

15、AP

16、+

17、PF

18、=

19、AP

20、+

21、PQ

22、,即为最小值..由,得为所求点.若另取一点，显然。[点悟]利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。FAPy例2、已知点F是双曲线的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为.X

23、解析：设双曲线右焦点为一、参数法利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。例3、椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OAB的最小面积。分析；写出椭圆参数方程，设切点为，可得切线方程。解：设切点为，则切线方程为.令y=0,得切线与x轴交点；令x=0,得切线与y轴交点B(0,)=[点悟]利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。三、几何法将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离等求解。例4、已知椭圆

24、和直线l:x-y+9=0，在l上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。分析；设是关于l对称点，可求出坐标，过的直线方程与x-y+9=0联立得交点M为所求。解：由椭圆方程，得，设是关于l对称点，可求出坐标为(-9,6)，过的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)，即过M的椭圆长轴最短。ylPOxM由,得，,,所求椭圆方程为.[点悟]：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。

25、同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。四、不等式法例5、设椭圆中心在坐标原点A（2，0）、B（0，1）是它的两个顶点，直线与椭圆交于E、F两点，求四边形AEBF面积的最大值.解析：依题意设得椭圆标准方程为，直线AB、EF的方程分别为先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值.这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法.圆锥曲线最值问题涉及知识较多，在求解时，要多思考、多联系，合理进行转化，以优化解题方法。