高三数学 数列中的最值（范围）复习学案

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1、江苏省苏州市第五中学高三数学数列中的最值（范围）复习学案一、复习要点数列的最值（范围）问题主要考查的知识重点和热点涉及等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和公式．问题常涉及求数列中基本量的最值（范围）、参数的最值（范围）等，通常需要结合函数、导数、不等式等知识．该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想及分类讨论思想．二、典型例题例1.（1）设等差数列的前项和为．①若，则的最大值为；②若，则的最小值为；（2）已知等比数列，若，则的取值范围是．变式1：设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项

2、和为，满足，则的取值范围是__________________；变式2：已知数列满足，则的最小值是．小结：．例2.已知首项为的等比数列不是递减数列,其前n项和为,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设,求数列的最大项的值与最小项的值.变式1：已知数列的通项公式为，若不等式对且恒成立，则的最小值为.变式2：在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为．小结：．三、课堂总结一、关于本节教学内容的说明：数列的最值（范围）问题可能涉及到与导数、函数、不等式等知识综合一起

3、考查．主要考查的知识重点和热点是数列的通项公式、前n项求和公式、等差数列和等比数列、函数的单调性、不等式性质、参数取值范围的探求等，此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．数列知识与函数、导数、不等式等知识综合起来，其中还蕴含着丰富的数学思想方法，通常用到函数与方程思想、转化与化归思想及分类讨论思想，这就要求学生能够灵活运用数列的性质与不等式的方法以及一些基本的数学思想方法去解决相关的问题．二、例题、变式解答及相关说明：数列的本质是离散函数，数列的通项，前n项和都可以看

4、成是关于n的函数解析式．因此，含有，的数列问题，特别是等差、等比数列问题，都可以转化成数列的基本量来处理．问题中涉及单变量问题可以转化为函数问题，而多变量问题一方面可以通过减元转化为函数问题；另一方面，可以通过不等式的性质转化为不等式问题进行处理．设计例1，就是想通过对几个问题的处理，让学生体会如下一些问题：（1）本题主要考察等差、等比数列定义、基本量、通项、数列求和、函数与导数、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力；（2）求解数列中的某些最值问题，有时须结合函数与导数、不等式来解决，其具体解法有：①建立目

5、标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；②首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；③利用条件中的不等式关系确定最值．例1解析：（1）①（思路1）设等差数列的首项为，公差为，因为，所以即而，建立平面直角坐标系，作出可行域及目标函数．当直线过可行域内点时截距最大，此时目标函数取得最大值．（思路2）设，于是，由解得所以，所以的最大值是4．②设等差数列的首项为，公差为，因为，所以解得，则，令，则，令得或（舍），所以-0+↘极小值↗因为，所以的最小值为．（2）设等比数列公比为，令，则且，（思路1），所以，令，则，1°当时，

6、，当且仅当，即时取等号，此时；2°当且时，令,因为，所以在和上单调递减，所以且，此时且．综上所述，的取值范围是．（思路2）且且，所以或且．于是1°当时，，当且仅当，即时取等号，此时；令2°当且时，，因为，所以在和上单调递减，所以且，此时且．综上所述，的取值范围是．变式1：解析：因为，所以，即，整理得．因为为实数，所以关于有实数解，所以，即，解得或，即的取值范围是．变式2：解析：因为，所以，又当时符合上式，所以，于是．设，则，令得或（舍）所以-0+↘极小值↗因为，所以当或时，有最小值．因为，所以的最小值是．例1还可以给出如下变

7、式：1.各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是.2.数列满足，，且=2，则的最小值为．3.已知等比数列，若，则前3项的和的取值范围是．4.设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是；的最大值是．设计例2，主要是让学生体会数列是一类定义在正整数集或其有限子集上的特殊函数，是函数概念的继续与延伸，所以任何数列问题都蕴含着函数的本质和意义，具有函数的一些固有特性，所以要善于用函数的观点看数列问题；变式（2）主要是想利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值．例2.解：

8、（1）设等比数列的公比为，因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列，所以，即，于是，又不是递减数列且，所以，所以等比数列的通项公式为．（2）由（1）得当为奇数时，随的增加而减小，所以，此时，所以；当为偶数时，随的增加而增加，所以，此时，所以，即；综上所述，对于，，数列的最大项的值为