数列中的最大项或最小项问题的求解策略

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1、数列中的最大项或最小项问题的求解策略在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，对以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一人亮点，本文试对求数列小的最值问题加以探讨.给出数列｛%｝的通项公式an=f(n)的最人项或最小项，有以下解题策略：策略一利用差值比较法若有^„+1-an=/(n+l)-/(n)>0,H'Jan+1>an,则务

2、最小项为⑷=/(I):若有an+-an=/(«+l)-/(n)<0,则心+]VQ”，则d]>a2>-->an>an+1>…，即数列｛an｝是单调递减数列,所以数列｛an｝的最大项为绚=/(I).策略二利用商值比较法若有％=/(〃)>0对于一切“WN*成立，且丛=/3+1)>i,则d曲〉陽，则JfWa｛<勺<・・・<给Siv…即数列｛色｝是单调递增数列,所以数列｛色｝的最小项为若有〜=/(〃)>0对于一切neN*成立，且也=/(〃+1)<],则则①/(«)①>勺〉…〉色〉色屮〉•••即数列｛%｝是单调递减数列，所以数列

3、｛%｝的最小项为=/(1).策略三利用放缩法若进行适当放缩,有an+]=f(n+1)>f(n)=an,则％a2〉・・・〉％>an+l〉…，即数列｛a“｝是单调递减数列,所以数列｛%｝的最大项为⑷=/(I).策略四利用导数法为求出°”=f(n)的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数y=f(x)(x>1)的导数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列｛%｝的

4、单调性，最后求出数列｛色｝的最大项或授小项.策略五先猜后证通过分析，推测数列｛色｝的某项色伙WN*）最大（或最小），再证明0”5©•（或a”>ak）对于一切hEN*都成立即可.这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题.一、一题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性例1已知函数/（x）=-3x2+6兀，必是数列｛%｝的前〃项和，点（”，S“）SEN*）在曲线）y/（兀）上（I）求数列｛。”｝的通项公式；（II）若"=（才ctl=乞也26几几是数列©｝的前〃项和.试问7；是否存在最大值？若存在，请求出7；的最大值；若不存在，请

5、说明理由.解（I）因为点S,S”）在曲线y=/（x）±,又f（x）=-3x2+6x,所以Sn=-3n2+6n.当el吋,an=Sn-=(-3/72+6n)一[一3(”-1)2+6(n-1)]=9_6/7,所以a”=9-6/2.=(3-2n)(-)!!(9-6n)dy~l(II)因为仇=(-)n-l,c„=~anbn=2oo1191,1所以Tn=-^(j)U)+(-3)(-)3+…+(3—2h)(-)z,,2222:Tn=4)2+(-1)+d)3+(-3)(异+…+(3—2n)(l)n+1,22222②一③得二当+(-

6、2)(£)2+(-2)(£)彳+•••+(-2)(£)"-(3-2n)(-^)w+1222222冷+(»(汀[1七)”「12/(32n)(),,+1.1——22整理得Th=(2n+l)(-)M-l,④策略一利用差值比较法由④式得Tn+i=(2h+3)(-)w+,一1,所以丁沖―Tn=(2n+3)4)m+i-(2n+1)(》心3)”+1)]中31W+厂⑵"才因为n>l,所以丄一n<0.2乂(jy>0,所以Tn+l-Tn<0所以Tn+lr2>r3>•••>?„>rn+i>・・・・所以几存在最大值人=-.2策

7、略二利用商值比较法由④式得7；+1=(2〃+1)(丄)“>0.?T丄1⑵7+3)(丄严°丄QQ丄［、丄°因为⑺+1=2=2〃+3二(2〃+1)+2人+1一⑵2+1)(丄)“一20+1)一2(2〃+1)'2=;(1+)5；(1+~~)=7<122n+122+16所以7；屮+1<7；+1,即為T2>T3>->Tn>Tn+i>・・・/所以7；存在最大值7；=丄.2策略三利用放缩法由①式得％严［3—2®+l)］(-)w+,=(1-2/:)(-)n+,<0,又因为7；是数列©｝的前22八项和，所以陰I

8、7；•所以T1>T2>T3>...>Tz/>T„+1>-所以7；存在最大值7；二丄.2策略四利用导数江考查函数g(x)=(2x+1)(-)'-l(x>1)的单调性.g'⑴=2(*)”+(2兀+1)(£)「1专“($[2+(2“1)1申因为x>1,所以2x+1>3,而In—<0,所以(2x+l)ln丄<31n丄.222又31n-=l