数列中的最大项或最小项问题的求解策略.doc

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1、数列中的最大项或最小项问题的求解策略在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，本文试对求数列中的最值问题加以探讨.给出数列的通项公式的最大项或最小项，有以下解题策略：策略一利用差值比较法若有，则，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若有，则，则，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.策略二利用商值比较法若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是

2、单调递增数列，所以数列的最小项为；若有对于一切n∈N*成立，且，则，则即数列是单调递减数列，所以数列的最小项为.策略三利用放缩法若进行适当放缩，有，则，即数列是单调递增数列，所以数列的最小项为；若进行适当放缩，有，则-10-，即数列是单调递减数列，所以数列的最大项为.策略四利用导数法为求出的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数的导数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列的单调性，最后求出数列的最大项或最小项.策略五先猜后证通过分析，推测数列的某项(k∈N*)最大（或最小），再证明对于一切n∈N*都成立即可.这样就将

3、求最值问题转化为不等式的证明问题.一、一题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性例1已知函数，Sn是数列的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*）在曲线上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，且Tn是数列的前n项和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值；若不存在，请说明理由.解（Ⅰ）因为点（n，Sn）在曲线上，又，所以.当n=1时，.当n>1时，所以.（Ⅱ）因为①所以②③②－③得-10-.整理得，④策略一利用差值比较法由④式得，所以因为，所以.又，所以所以，所以.所以Tn存在最大值策略二利用商值比较法由④式得.因

4、为所以，即.所以/所以Tn存在最大值.策略三利用放缩法由①式得，又因为Tn是数列的前n项和，所以.所以所以Tn存在最大值.策略四利用导数江-10-考查函数的单调性.因为，所以，而，所以又，所以，所以.又，所以，即，所以在上是单调递减函数，所以当x=1时，.因为，所以，所以存在最大值.策略五先猜后证通过分析，推测数列的第一项最在.下面证明：.方法1分析法因为，所以只要证明.即只要证明.只需要证明.即只要证明由二项式定理得且时，，所以-10-所以成立.所以成立.所以存在最大值.方法2利用数学归纳法（i）当n=2时，因为，所

5、以，不等式成立.（ii）假设时不等式成立，即.则当时，由①式得所以.这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.由（i）（ii）得，对于一切且，总有成立.所以存在最大值.评注本题（Ⅱ）的解答给出了求Tn最大值的多种方法，灵活多变，也是求数列最值问题的常规方法.二、尝试探究，选定方案，培养学生思维的深刻性例2在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．解（Ⅰ）由（N*），，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故-10-，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）解：设，　　　①

6、　　　　　　　　②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：．　　　　③由，知，要使③式成立，只要，因为．所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．评注本题（Ⅲ）设计非常精彩.为证明“存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立”，可以转化为思考“存在k∈N*，使得是数列的最大项”问题.-10-本小题若用差值比较法转化为探究差值与0的大小、用商值比较法转化为探究商值与1的大小、用单调性法把通项公式为的数列的单调性问题转化为探究函数的导数问题以

7、及放缩法解决问题，都颇有难度.虽然说上述方法都是解决数列最值问题的通性通法，碰壁后若不能及时调整解题策略，就会泥牛入海，不能自拨.而使用策略五，先敏锐、大胆、果断猜出，再用分析法以及重要不等式证出这个结论，方法非常奏效.命题高明之处就在于不是直接抛出了这个结论，让考生去证明；而是让考生先自己探究出结论再论证，富有挑战性.这也是现在高考命题的一大亮点，要求学生学会先猜后证，能够很好地考查学生思维的深刻性.三、辨析模式，分类讨论，培养学生思维严谨性例3在数列中，（），其中k是常数，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的

8、最小项.解（Ⅰ）因为（），所以，即.当时，.以上n-1个式子相加得，即.又，所以，即.当n=1时，上式也成立.-10-所以数列的通项公式为.（Ⅱ）为考查数列的单调性，注意到，可设函数，则，即.可知时，；时，；时，.所以函数在[1，]上是减函数；在上是增函数.因为，所以.（1）当，即k=25时，.所以数列的最小项为.（2）当，即k=