求数列最大项、最小项的常用方法

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1、万方数据求数列最大项、最小项的常用方法陈志英(南通市冠今中学，江苏海门226100)数列的最大与最小项问题是一类常见的数列问题．也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有下面一些方法。1．利用函数图像将数列视为函数tnf(x)，根据f(x)的类型，并作出相应的函数图像，求出f(n)的最值。这是最直观的求数列最大项的方法。例1．{a。)的通项公式为a。----11‘-5n+4，n为何值时，an有最小值?并求出最小值。解：因为an=n2-5n“：(n一妻)2一要，数列中的项是函数f(x)=(x一寻)2一手上的一个个孤立点，从而当n=2或3时，钆有最小值为

2、一2。例2．已知％：n-v雯一7_(1ieN’)，则在数列I～}的前30项中最n一、／98大项和最小项分别是。解：因为an：旦塑：l+立竺墅盟，”n一、历8n一、／98数列中的项是函数f(x)：1+!堕二!里x一、／两点，sir(x)的图像(如图)是由y=!堕二塑右移、／甄个单位，再上移lX个单位得到的，因此f(x)在(一*，V-off)上是减函数，在(x／-Cg，+∞)上也是减函数，从而可知当n=9时a。最小，n=101对a。最大。所以最大项和最小项分别为a⋯a9。对于这些熟悉的一些基本初等函数型的数列，我们可以用此法加以解决。但对于我们无法作出图像的数

3、列问题．必须通过其他方法加以解决。2．利用函数的单调性数列是一种特殊的函数，一种定义在正整数集(或其子集)上的函数．因此也具有单调性，我们可用函数的思想和方法去研究。对于数列{al而言，若ana叶。，则其为递减数列；若a。=‰，，则其为常数列。下面举例说明运用单调性求出一些常见数列的最值问题。-^n，-、Ha．已知无穷数列k}的通项公式a。=旦坠业，试判断此“11“数列是否有最大项。若有，求出第几项最大；若没有，说明理由。上的一个个孤立解法一：‰广a产10”。(n+2)10n(n+1)10。(9一n)～：：一11”’1

4、1。ll”1数的各种运算都具有了几何意义。因此复数解题时，笔者常以形助数，数形结合，使问题的解决更加形象。例4：复数z．=1+2i，z2=-2+i，z3=一1-2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。7弋Bf℃．)o’C解法l：如图，设复数z．，z，，Z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，Y∈R)，则：A--g=O--盎一i豇=(x+yi)一(1+2i)=(x一1)+(y-2)i，a--d=石苞一石营=(一1—2i)一(-2+i)=1—3i．·．·j【西=配。．·．(x

5、—1)+(y一2)i=1—3i，则／I，x一-2l：=一13，解得{；：：l。故点D对应的复数为2一i。注：利用向星运算法则求复数关键是找出所求复数对应的向量，然后根据几何意义求出复数。解法2：如图，设复数z．，z’，Z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x，YER)。‘．’点A与点C关于原点对称，．·．原点O为正方形的中心。则B、D关于0点对称，即(一2+i)+(x+yi)：0，．‘．x=2，y=-I。故D对应的复数为2一i。点评：解法l的关键足要善于发现问题中可能被利用的条件。寻找最佳的解题方法；解法2利用正方形是对

6、称图形，数形结合。解题思路巧妙，实质是运用了平行四边形对角线互相平分的性质。五、函数与方程的思维策略函数与方程思想的实质足提取问题的数学特征。用联系变化的观点看待数学对象，建立函数关系，实现函数与方程的相互转化．以达到解决问题的目的。例5：(2008上海春，16)已知z∈C，且Iz一2—2il=l，i为虚数单位．则Iz+2—2il的最小值是。解：i殳z=x+yi(x，Y∈R)，则(x一2)‘(y一2)名l。令x一2=cos0，y一2=sinO，则x=2+cosO，y=2+sin0。．’．Iz+2—2i1=V(x+2)‘+(y+2)‘=、／8cosO+17>

7、13，则Iz+2—2il的最小值是3。另外，本题考虑几何意义也可速解：z对应的点为以(2，2)为圆心，l为半径的圆，Iz+2—2il表示z对应的点到点(一2，2)的距离．则Iz+2—2il的最小值是3。例6：已知关于x的方程x。+珏“+3i=o有实数根，求复数z的模的最小值。解：设xER且x≠o，则z=一三2生翌-_(x+!)一三i，XIzI=丽=怿≥3订。当且仅当x2-萼，即x=±、／了时取等号，故IzI血=3V'2-。X点评：虚系数方程有实根，不能得出A=z2-16—12i，>0，只说明x可以取实数，故虚系数一元二次方程不能用判别式判断方程是否有实根。

8、71万方数据注重教学方法，培养数学应用意识吴翠红(大丰市小海中学，