求极值与最值的方法

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1、求极值与最值的方法1引言在当前的数学教育中,求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置,由于其解法灵活,综合性强,能力要求高,故而解决这类问题,要掌握各数学分支知识,能综合运用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。2求函数极值的方法极值定义:设函数在的某邻域内有定义,且对此邻域内任一点,均有,则称是函数的一个极大值;同样如果对此邻域内任一点,均有,则称是函数的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点,称为极值点。2.1求导法判别方法一:设在点连续,在点的某一空心邻域内可导。当x由小增大经过时,如果:

2、(1)由正变负,那么是极大值点;(2)由负变正,那么是极小值点;(3)不变号,那么不是极值点。判别方法二:设在点处具有二阶导数,且,。(1)如果,则在点取得极大值;(2)如果,则在点取得极小值。第13页(共13页)判别方法三:设在点有n阶导数,且,则:(1)当为偶数时,在取极值,有时,在取极大值,若时,在取极小值。(2)当为奇数时,在不取极值。求极值方法:(1)求一阶导数,找出导数值为0的点(驻点),导数值不存在的点,及端点;(2)判断上述各点是否极值点例1求函数的极值。解法一:因为的定义域为,且,令,得驻点,;在内,,在内,,为函数的极大值。解法二:因为的定义域为,且,。

3、令,得驻点,。又因为,所以,为极大值。,所以为极小值.第13页(共13页)例2求函数的极值.解因为的定义域为,且在上连续,所以,当时,不存在,所以为的可能极值点.在内,;在内,,在处取得极大值。例3求函数的极值。解令,得驻点,且,但>0所以有极小值0.2.2利用拉格朗日乘数法求条件极值“乘数法”所得到的点只是可能是极值点,到底是否是极值点要依据拉格朗日函数F的二阶微分符号来判断。例4求函数在条件下的极值。解先求令得驻点为又由,,,,=第13页(共13页)故为即的极大值点,此时2.3不等式求极值应用n个正数的算术平均数大于等于n个正数的几何平均数这个基本不等式来处理,基本不等

4、式是,。例5当为何值,函数取得极值。分析:函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系,尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理。解式子两边都是非负数,分别去算术平均根,得此时2.4利用二次方程判别式的符号来求初等函数的极值例6若,试求函数的极值。解,带入得即这个关于的二次方程要有实根,则要第13页(共13页)即(2)解关于的二次不等式得:显然,求函数的极值,相当于求或(3)的极值。由(2)得(4)这个关于的二次方程要有实数根,必须即解此关于的二次不等式,得。所以的极大值是3,极小值为。2.5利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变

5、量有关的量做标准量,称其余为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量。例7设,求的极小值。解取为标准量,令,,则(、为任意实数),从而有(等号当且仅当==即时成立)。所以的极小值为。第13页(共13页)2.6配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数,一般都可以用此方法,中学大部分求极值的问题都是采用这用方法。例8求函数的极值。分析:不难看出函数的解析式中分母是以为主元的二次三项式,则可以用配方法来解决这道题。解令,则,取极大值的条件是取最小值,

6、取极小值的条件是取最大值;取最大值则的极小值为;则的极大值为。2.7柯西不等式求初等函数的极值柯西不等式的一般形式为:对任意的实数及有或,其中等号当且仅当时成立。例9已知为正常数,且,求的极小值。解利用柯西不等式,得第13页(共13页)等号成立的当且仅当时;即时,于是再由柯西不等式,等号成立也是当且仅当时。从而,于是的极小值是。3求初等函数最值的方法3.1判别式法若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程:。在时,由于为实数,则有,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。例10实数满足,设,则的值为_______。第13页(共13页)解由题意知,,故又是方程的两个实根.解得,

7、即3.2函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时,常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的,则把该区间分成各个小区间,使得函数在每一个区间上是单调的,再求出各个小区间上的最值,从而可以得到整个区间上的最值。例11求函数的最小值和最大值。解先求定义域,由得又,故当,且增加时,增大,而减小.于是是随着的增大而减小,即在区间上是减函数,所以,3.3均值不等式法均值不等式:设是个正数,则有,其中等号成立的条件是。运用均值不等式求最值,必须

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