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1、求极值与最值的方法1引言在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。2求函数极值的方法极值定义：设函数在的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点，均有，则称是函数的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点，称为极值点。2.1求导法判别方法一：设在点连续，在点的某一空心邻域内可导。当x由小增大经过时，如果：
2、(1)由正变负，那么是极大值点；(2)由负变正，那么是极小值点；(3)不变号，那么不是极值点。判别方法二：设在点处具有二阶导数,且,。(1)如果，则在点取得极大值；(2)如果，则在点取得极小值。第13页（共13页）判别方法三：设在点有n阶导数，且，则：（1）当为偶数时，在取极值，有时，在取极大值，若时，在取极小值。（2）当为奇数时，在不取极值。求极值方法：（1）求一阶导数，找出导数值为0的点（驻点），导数值不存在的点，及端点；（2）判断上述各点是否极值点例1求函数的极值。解法一：因为的定义域为,且,令，得驻点,；在内，，在内，,为函数的极大值。解法二：因为的定义域为，且,。
3、令,得驻点,。又因为,所以，为极大值。,所以为极小值．第13页（共13页）例2求函数的极值．解因为的定义域为,且在上连续，所以，当时,不存在,所以为的可能极值点．在内,；在内,,在处取得极大值。例3求函数的极值。解令，得驻点，且，但>0所以有极小值0.2.2利用拉格朗日乘数法求条件极值“乘数法”所得到的点只是可能是极值点，到底是否是极值点要依据拉格朗日函数F的二阶微分符号来判断。例4求函数在条件下的极值。解先求令得驻点为又由，，，，=第13页（共13页）故为即的极大值点，此时2.3不等式求极值应用n个正数的算术平均数大于等于n个正数的几何平均数这个基本不等式来处理，基本不等
4、式是，。例5当为何值，函数取得极值。分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系，尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理。解式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得此时2.4利用二次方程判别式的符号来求初等函数的极值例6若，试求函数的极值。解，带入得即这个关于的二次方程要有实根，则要第13页（共13页）即（2）解关于的二次不等式得：显然，求函数的极值，相当于求或（3）的极值。由（2）得（4）这个关于的二次方程要有实数根，必须即解此关于的二次不等式，得。所以的极大值是3，极小值为。2.5利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时，我们可以选取某个与这些变
5、量有关的量做标准量，称其余为比较量，然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来，这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量。例7设，求的极小值。解取为标准量，令，，则（、为任意实数），从而有（等号当且仅当==即时成立）。所以的极小值为。第13页（共13页）2.6配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此方法，中学大部分求极值的问题都是采用这用方法。例8求函数的极值。分析：不难看出函数的解析式中分母是以为主元的二次三项式，则可以用配方法来解决这道题。解令，则，取极大值的条件是取最小值，
6、取极小值的条件是取最大值；取最大值则的极小值为；则的极大值为。2.7柯西不等式求初等函数的极值柯西不等式的一般形式为：对任意的实数及有或，其中等号当且仅当时成立。例9已知为正常数，且,求的极小值。解利用柯西不等式，得第13页（共13页）等号成立的当且仅当时；即时，于是再由柯西不等式，等号成立也是当且仅当时。从而，于是的极小值是。3求初等函数最值的方法3.1判别式法若函数可化成一个系数含有的关于的二次方程:。在时,由于为实数,则有,由此可以求出所在的范围,确定函数的最值。例10实数满足,设,则的值为_______。第13页（共13页）解由题意知,,故又是方程的两个实根.解得，
7、即3.2函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。例11求函数的最小值和最大值。解先求定义域，由得又，故当，且增加时，增大，而减小.于是是随着的增大而减小，即在区间上是减函数，所以,3.3均值不等式法均值不等式:设是个正数,则有,其中等号成立的条件是。运用均值不等式求最值,必须
