导数求极值与最值

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1、函数导数求极值，最值1．（本小题满分12分）已知，在与时，都取得极值。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若都有恒成立，求c的取值范围。【答案】（Ⅰ）＝，＝－6.（Ⅱ）或【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设有=0的两根为，＝，＝－6.（6分）（Ⅱ）当时，由（1）得有，即（8分）所以由题意有＝－+c>-（10分）解得或（12分）考点：函数导数求极值，最值点评：不等式恒成立转化为求函数最值2．已知函数，，其中。（1）若是函数的极值点，求实数的值。（2）若对任意的，（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围。【答案】（1）（2）的取值范围为【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的求解极值和

2、最值的运用。（1），其定义域为（0，）（1分）是的极值点即（2）对任意的，都有成立对任意，都有，运用转化思想来求解最值即可94．已知函数．（1）求的单调区间；（2）设，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）当时，的单调增区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为（2）【解析】（1）对函数求导，令导函数大于（小于）0，得函数的增（减）区间，注意函数的定义域和的讨论；（2）要使任意，总存在，使得，只需，的最大值易求得是1，结合（1）得函数最大值为，解不等式得范围（1）………………2分当时，由于，故，故，所以，的单调递增区间为……………3分当时，由，得

3、.在区间上，，在区间上所以，函数的单调递增区为，单调递减区间为……5分所以，当时，的单调增区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递区间为（2）由已知，转化为.由已知可知……………8分由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.（或者举出反例：存在，故不符合题意）…………………9分当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得96．已知函数在处取到极值2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）试研究曲线的所有切线与直线垂直的条数；（Ⅲ）若对任意，均存在，使得，试求的取值范围．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当，即或时，满足条件的切线有2条，当，即时，满足条件的切线有

4、1条，当，即时，满足条件的切线不存在．（Ⅲ）且．【解析】（I）根据f(0)=2,建立关于c,d的方程，求出c,d的值.（II）本小题的实质是判定方程根的个数.然后利用二次函数的图像及性质借助判别式解决即可.(III)先求f(x)在[1,2]上最小值，然后再求出在[0,1]上的最小值，那么本小题就转化为（Ⅰ），……………1分根据题意得解得．……………2分经检验在处取到极值2．∴.……3分（Ⅱ）即，，…5分当，即或时，满足条件的切线有2条，当，即时，满足条件的切线有1条，当，即时，满足条件的切线不存在．……………8分（Ⅲ）根据题意可知，……………9分令，得，当时，；当时，，

5、所以函数的递减区间为，递增区间为，故函数在处取得最小值．………11分在恒成立，即在恒成立.设，，由得，由得.∴函数在单调递增，在单调递减，∴函数，∴且．97．已知函数（Ⅰ）时，求的极小值；（Ⅱ）若函数与的图象在上有两个不同的交点，求的取值范围【答案】(1)的导函数，当时，或，，在增函数，在为减函数，的极小值为；同理时,的极小值为，时,无极小值；（Ⅱ）设在有两个不同的解，即在有两个不同的根，，在（1，2）减函数，在（2，3）上增函数，结合图像知得【解析】（1）求导函数的零点，讨论零点的大小判断极值；（2）参数分离，结合图像解决。98．设，．（1）当时，求曲线在处的切线方程

6、；（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．【答案】：（1）当时，，，，，所以曲线在处的切线方程为；4分（2）存在，使得成立，递减极（最）小值递增等价于：，考察，，由上表可知：，，所以满足条件的最大整数；8分3）当时，恒成立，等价于恒成立，记，，。记，，由于，,所以在上递减，又h/（1）=0，当时，，时，，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以。12分9（3）另解：对任意的，都有成立等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，由（2）知，在区间上，的最大值为。，下证当时，在区间上，函数恒成立。当且时，，记

7、，，当，；当，，所以函数在区间上递减，在区间上递增，，即，所以当且时，成立，即对任意，都有。【解析】（1）求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；（2）存在，转化解决；（3）任意的，都有成立即恒成立，等价于恒成立910．已知函数在处都取得极值．（1）求、的值；（2）若对时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）………………2分在处都取得极值……………3分即………………4分经检验符合………………5分（2）由（1）可知，………6分由0，得的单调增区间为，由0，得的单调减区间为∴=1是的极大值点………8分当时，=--4，=-3++4而-=4e-9