导数与最值与极值

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1、个性化辅导讲义课题导数与最值极值教学目标掌握导数在函数最值与极值方面的应用重点、难点导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.考点及考试要求导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.导数应用各类题型的出题方式，举一反三.典型例题的典型方法.在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法.教学内容知识框架知识梳理1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减.如果，那么函数在这个区间上是

2、常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．一般地，当函数在点处连续时，判断是极大（小）值的方法是：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值．（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果8湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义，那么函数在这个区间内单调递减.如

3、果，那么函数在这个区间上是常数函数.注：函数在（a,b）内单调递增，则，是在（a,b）内单调递增的充分不必要条件.【例1已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.【解析】（Ⅰ）由的图象经过，知，所以.所以.由在处的切线方程是，知，即，.所以即解得.故所求的解析式是.（Ⅱ）因为，令，即，解得，.当或时，，当时，，故在内是增函数，在内是减函数，在8湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义内是增函数.　【例2】（A类）若在区间[－1,1]上单调

4、递增，求的取值范围.【解题思路】利用函数在区间上递增可得：；函数在区间上递减可得：.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.【解析】又在区间[－1,1]上单调递增在[－1,1]上恒成立即在[－1,1]时恒成立.故的取值范围为【例3】（B类）已知函数,,设．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.【解析】（I），∵，由，∴在上单调递增.由，∴在上单调递减.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.（II），恒成立当时，取得最大值

5、.∴，∴amin=.【课堂练习】8湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义1.已知函数的图像经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间上单调递增，即为函数的递增区间的子集.【解析】（Ⅰ）的图象经过点∴∵，∴由已知条件知即∴解得：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令则或∵函数在区间上单调递增∴∴或即或2．（B类）设函数，在其图象上一点P（x，y）处的切线的斜率记为（1）若方程的表达式；（2）若的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间[-1,3]上单调递减，即导函数

6、在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.【解析】（1）根据导数的几何意义知由已知-2、4是方程的两个实根8湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义由韦达定理，（2）在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有其中点（—2，3）距离原点最近，所以当有最小值133.（A类）已知函数，．当时，讨论函数的单调性.【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论【解析】∵，∴（1）当时，若为增函数；为减函数；为增函数．（2）当时，为增函数；为减函数；为增函数．知识点二:导数与函数的极值最值方法归纳：1.求函数的极值的步骤:(1

7、)确定函数的定义域，求导数.8湖州龙文教育咨询有限公司个性化辅导讲义(2)求方程的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么在这个根处无极值.2.求函数在上最值的步骤：（1）求出在上的极值.（2）求出端点函数值.（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.注:可导函数在处取得极值是的充分不必要条件.【例4】（A类）若函数在处取得极值,则.【解题思路】若在附近的