微积分第十章ppt课件.ppt

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1、微积分（下册）第十章曲线积分与曲面积分第一类曲线积分第一节第二类曲线积分第二节格林公式平面曲线积分与路径无关的条件第三节第十章曲线积分与曲面积分第一类曲面积分第四节第二类曲面积分第五节高斯公式斯托克斯公式空间曲线积分与路径无关的条件第六节第一类曲线积分第一节一、第一类曲线积分的概念引列设有一曲线形物体所占的位置是xOy面内的一段曲线L，它的端点是A，B，它的质量分布不均匀，其线密度为ρ(x,y)，试求该物体的质量M(见图10-1).图10-1一、第一类曲线积分的概念分析如果该物体的线密度为常量，那么它的质量可用公式质量=线密度×长度来计算.由于该物体上各

2、点处的线密度是变量，所以不能用上述公式来计算.下面采用以下几个步骤来解决这个问题.(1)分割.在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1,把L分成n个小段，相应地，曲线形物体也分成n个小段，每一小段的质量为ΔMi(i=1,2,…,n)，则该曲线形物体的质量一、第一类曲线积分的概念(2)近似.取其中一小段物体Mi－1Mi(其长度记为Δsi)来考虑,当Δsi很小时，其上的线密度可以近似看成是不变的常数，它近似等于该小段上任一点ξi,ηi处的线密度ρ(ξi,ηi)，于是，该小段的质量ΔMi可近似表示为ΔMi≈ρ(ξi,ηi)Δsi(i=1,2,…,n).(3

3、)求和.该曲线形物体的质量一、第一类曲线积分的概念(4)取极限.设λ=maxΔs1,Δs2,…,Δsn，当λ→0时取上述和的极限，于是整个曲线形物体的质量这种和的极限在研究其他问题时经常用到，于是将其抽象出来，得到第一类曲线积分的定义.一、第一类曲线积分的概念定义1设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,…,Mn-1把L分成n个小段.设第i个小段的长度为Δsi，又ξi,ηi为第i个小段上任意取定的一点.如果当小弧的长度的最大值λ→0时，∑ni=1fξi,ηiΔsi的极限是存在的，则称此极限为函数fx,y在曲线

4、弧L上的第一类曲线积分或对弧长的曲线积分，记为∫Lfx,yds，即(10-1)其中fx,y称为被积函数，L称为积分弧段，ds称为弧长元素.一、第一类曲线积分的概念函数fx,y在闭曲线L上的第一类曲线积分记为∮Lfx,yds.注式(10-1)中和式的极限存在的一个充分条件是函数f(x,y)在曲线L上连续.因此，以后总假定f(x,y)在曲线L上是连续的，在此条件下，第一类曲线积分∫Lfx,yds总是存在的.根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量当线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线积分，即M=∫Lρ(x,y)ds.一、

5、第一类曲线积分的概念二、第一类曲线积分的性质性质1设α，β为常数，则∫L［αf(x,y)+βg(x,y)］ds=α∫Lf(x,y)ds+β∫Lg(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质2设L由L1和L2两段光滑曲线组成(记L=L1+L2)，则∫Lf(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫L2f(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质3设在L上有f(x,y)≤g(x,y)，则∫Lf(x,y)ds≤∫Lg(x,y)ds.二、第一类曲线积分的性质性质4(中值定理)设函数f(x,y)在曲线L上连续，则在L上必存在一点(ξ,η)，使∫Lf(x,y)ds=f

6、(ξ,η)·s，其中s是曲线L的长度.二、第一类曲线积分的性质性质5(奇、偶对称性)设函数f(x，y)在曲线L上连续.若曲线L关于y轴对称，则二、第一类曲线积分的性质性质6(轮换对称性)设函数f(x，y)在曲线L上连续，若曲线L中将x与y互换后，L变为L′,则∫Lf(x,y)ds=∫L′f(y,x)ds.特别地，若L关于y=x对称，则∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds.对于积分∫Γf(x,y,z)ds也有相应的性质，读者可自行写出.三、第一类曲线积分的计算定理1设有曲线三、第一类曲线积分的计算【例1】图10-2三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲

7、线积分的计算【例2】图10-3三、第一类曲线积分的计算三、第一类曲线积分的计算【例3】第二类曲线积分第二节一、第二类曲线积分的概念与性质在xOy面内，质点M在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j［P(x,y),Q(x,y)在L上连续］的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B，试计算变力F(x,y)所做的功W(见图10-4).引列图10-4一、第二类曲线积分的概念与性质分析如果力F是常力，且质点从A沿直线移动到B，那么常力F所做的功W可用式W=F·AB来计算.现在F(x,y)是变力，且质点沿曲线L移动，功W不能直接按以上公式计算.可采用以下几个步

8、骤来解决这个问题.(1)分割.在L上沿L的方向插入一