《微积分》ppt课件

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1、§9.2二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结一、利用直角坐标计算二重积分1、积分区域的类型设积分区域D可以用不等式来表示,其中函数1(x)、则称D为X－型区域,2(x)在区间[a,b]上连续.则称D为Y－型区域,类似地,设积分区域D可以用不等式来表示,其中函数ψ1(y)、ψ2(y)在区间[c,d]上连续.X－型区域的特点:穿过区域D内部且平行于y轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.Y－型区域的特点:穿过区域D内部且平行于x轴的直线与区域D的边界相交不多于两点.下面应用第六章中计算“平行截

2、面面积为已知的立体的体积”的方法,来求此二重积分.2、二重积分化为二次积分的公式设函数f(x,y)≥0,则由二重积分的几何意义知,的值等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.以积分区域D为X－型区域为例.在[a,b]上任意取定一点x0,作平行于yOz面的平面x=x0,则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间[1(x0),2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形.∴该截面的面积为一般地,过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为由计算平行截面面积为已知的立体的体积的

3、方法,得曲顶柱体的体积为就是说,先把x看作常数,把f(x,y)只看作y的函数,并对y计算从1(x)到2(x)的定积分;这个体积也就是所求二重积分的值,从而有等式上式右端的积分称为先对y、后对x的二次积分.然后把所得的结果(是x的函数)再对x计算在区间[a,b]上的定积分.这个先对y、后对x的二次积分也常记作这就是把二重积分化为先对y、后对x的二次积分的公式.类似地,若积分区域D为Y－型区域,则有上式右端的积分称为先对x、后对y的二次积分,这个积分也常记作这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式.说明:①使用公式(1)必

4、须是X－型域,使用公式(2)必须是Y－型域.②若积分区域既是X－型区域又是Y－型区域,则有③若积分区域既不是X－型区域又不是Y－型区域,则必须将其分割成若干个X－型区域或若干个Y－型区域.如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,可得3、交换二次积分次序的步骤为计算方便,可选择积分次序,必要时还可以交换积分次序.①对于给定的二次积分可先根据其积分限画出积分区域D;②根据积分区域D的形状,按新的积分次序确定积分限③写出结果解例1改变积分的次序.由所给二次积分知,原二重积分的积分区域D为X－型区域,即若改变该二次积分的次序,则积分区域

5、D变为Y－型区域,即解例2改变积分的次序.由所给二次积分知,原二重积分的积分区域D可看作两个X－型区域之和(如图),即若改变该二次积分的次序,则D变为Y－型区域,即例3改变积分的次序.解原二重积分的积分区域为若将积分区域D分成D1,D2及D3三部分,则有解例4求,其中D是由抛物线y=x2和x=y2所围成的平面闭区域.积分区域D如右图所示.由方程组可求得两曲线的交点为(0,0),(1,1),解例5计算二重积分,其中D是以(0,0)、(1,1)和(0,1)为顶点的三角形闭区域.积分区域D如右图所示.无法用初等函数表示,∴积分时必须考虑次

6、序,解例6计算二重积分积分区域D如右图所示.无法用初等函数表示,∴先改变积分次序,说明:①计算二重积分时,选择积分次序是比较重要的一步,积分次序选择不当,可能会使计算繁琐,甚至无法计算.一般地,既要考虑积分区域D的形状,又要考虑被积函数f(x,y)的特性.②应遵循“能积分,少分快,计算简”的原则.例7求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.解设两个直圆柱方程为由立体关于坐标平面的对称性可知,所求体积为第一卦限部分体积的8倍.∵所求立体在第一卦限部分可看成是一个曲顶柱体,它的顶为柱面它的底为∴所求体积为解例8求由下列曲

7、面所围成的立体的体积:曲面围成的立体如图.由所给曲面消去z,得∴所围立体在面上的投影是∴所求体积为4、利用对称性化简二重积分的计算利用对称性来简化二重积分的计算是十分有效的,它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的.不过二重积分的情况比较复杂,因此,在运用对称性时,要兼顾被积函数和积分区域两个方面,不可误用.归纳起来主要有下面几种情形.①设D关于y轴对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(-x,y)=-f(x,y),即f(x,y)是关于x的奇函数,则(ii)若f(-x,y)=f(x,y),即f(x,y)是关于x的偶函数,则其中D1

8、是D中x≥0的部分.②设D关于x轴对称,对任意点(x,y)∈D,(i)若f(x,-y)=-f(x,y),即f(x,y)是关于y的奇函数,则(ii)若f(x,-y)=f(x,y),即f(x,y)是关于y的偶函数,则其中D2是D中y≥0的