《数值微积分》PPT课件.ppt

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1、第7章数值微积分基础教学部数学教研室彭晓华立体化教学资源系列——数值分析波形屋顶平材的长度：一个波形屋顶是通过将一张平的铝材料压成横断面具有正弦波形式的材料而构造出来的.现在需要一个48英寸长的波形屋顶，每个波的高度均离开中心线1英寸，每个波的周期大约为英寸.求原来平材的长度.（从英寸到从而这个问题归结为求数值积分问题.7.1数值积分与数值微分确定此曲线的长度.根据微积分理论，此长度为引言：英寸），问题为:给定年份1900191019201930194019501960197019801990人口76.092.0106.5123.2131.7150.717

2、9.3204.0226.5251.4人口相对增长率：已知20世纪美国人口统计数据如下表，为了计算表中这些年份的人口相对增长率，记时刻的，则人口相对增长率为它表示每年人口增长的比例.从而这个问题归结为求数值微分问题.表7-120世纪美国人口统计数据（）人口为在许多实际工程中，直接或间接地涉及计算导数和计算定积分.在这些微分积分的计算过程中存在如下一些问题：1、牛顿—莱布尼兹公式大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数；例如，积分2、当微积分理论无法精确求积分，也无法精确求导数.是由测量或数值计算给出的一张数据表时，*对于计算导数的问题，从导数定义想到用差商

3、近似的算法，即虽然这种近似计算的精度较差，但是它启示我们可以用两个点上的函数值来近似求导，如果用有限个点上的函数值，能否建立一个求导公式并估计误差呢？这是数值微分研究的问题.需要研究的问题：从几何方面看，公式（7.1）表示以区间的长度为底而高为恰等于在边梯形的面积，见图7-2.问题在于一般是不知道的，因而难以准确算出的值.区间只要对平均高度数值求积方法.如果近似地取.上的积分值，即曲的具体位置称为提供一种算法，相应地便获得一种对于计算定积分的问题，根据积分中值定理：存在点使.（7.1）图7-2矩形公式几何意义的矩形面积，上函数的平均高度，如果近似地取则由公

4、式（7.1）得梯形公式，几何意义见图7-3.图7-3梯形公式几何意义则公式（7.1）称为中矩形公式如果取上有限个节点的函数值的加权平，则公式（7.1）称为机械求积公式（7.2）称为求积节点，称为求积系数.仅仅与节点的选取有关，而不的具体形式.均值为其中依赖于被积函数问题:的位置并确定求积系数才能使求得的积分值具有预先给定的任意的精确度？(2)怎样估计数值计算的误差？(1)如何安排求积节点寻找便于数值计算，又能满足精度要求的微积分公式和方法.数值积分与数值微分的基本内容：复习：拉格朗日插值多项式一、满足插值条件Pn(xi)=f(xi),(i=0,1,2,…,

5、n)n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn存在而且惟一。二、Lagrange插值多项式：称为Lagrange插值基函数。三、插值余项:Rn(x)=f(x)-Pn(x)=7.2牛顿-柯特斯求积公式上取定个点，经过这些点作插值多项式，用插值多项式，进而确定如果利用Lagrange插值多项式型求积公式其中插值型求积公式的基本思想：在7.2.1牛顿-柯特斯求积公式代替被积函数，则有插值(7.3)等距节点情形:将区间划分为等分，步长，选取等距节点，此时，即记将其代入公式（7.3），得到牛顿-柯特斯公式其中称为柯特斯系数，.（7.5），（7.

6、4）对不同的,柯特斯系数可按公式（7.5）计算.当时（有两个等距求积节点），相应的求积公式就是梯形公式当时（有三个等距求积节点），相应的求积公式就是辛普森公式（7.7）（7.6）时的牛顿-柯特斯公式则特别称为柯特斯公式当其中，（7.8）柯特斯系数的部分数据见教材104页表4-1.【注】这是因为此式成立.这说明：求积系数与被积函数、节点的选取均无关，其和恒为1.时，出现负值，计算不稳定，故不能应用的牛顿-时，公式（7.4）精确成立，因此必有（2）根据表7-2，当柯特斯系数柯特斯公式.（1）柯特斯系数的和恒为1，即7.2.2截断误差上个等距节点，得到的插值多项

7、式.由于，因此牛顿-柯特斯公式的截断误差（即余项）为（7.9）已知当时，梯形公式的截断误差为注意到，若要求连续，根据中值定理，则有梯形公式的截断误差返回例1如果连续，辛普森公式的截断误差为（7.11）返回例1证明：辛普森公式的代数精度是令为的三次埃尔米特插值多项式，满足插值条件：对多项式辛普森公式精确成立，即从而由积分中值定理得：柯特斯公式的截断误差为可以证明，只要充分光滑，牛顿-柯特思其中公式的余项为例1计算积分，并估计误差.由于，所以，于是，梯形公式的误差2）用辛普森公式计算，由于，于是，辛普森公式的误差解1）用梯形公式计算【注】时，梯形求积公式准确成

8、立；即梯形公式对一次多项式准确成立，是（3）数值求积方法是一种近似