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1、7.1数值微分7.2数值积分7.3常微分方程的数值解法7.1数值微分实际问题常需计算函数的导数或积分值。但很多情况下，函数关系难以准确表示；即使能使用解析式准确表示，表示式却很复杂，不能用于实际计算。本章介绍数值计算导数或积分的实用方法。7.1.1差分和差商根据导数的定义其中，∆x和∆y分别称为自变量x和因变量y的增量，也称之为差分。可以用差分的商作微商（导数）的近似。数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。自变量x的步长一般取定值。首先在xi处对函数进行泰勒展开，根据不同的组合方式可以得到精度不同的差分公式。以函数的一阶导数为例：微分公式表达式截断误差两点前向O(
2、∆x)两点后向O(∆x)三点中心O(∆x2)三点前向O(∆x2)三点后向O(∆x2)五点中心O(∆x4)………………………………精度为O(∆X2)的高阶中心差分算法精度为O(∆X4)的高阶中心差分算法7.1.2数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff和梯度函数gradient。diff调用格式为：Dy=diff(Y)：计算向量Y的向前差分，并把结果赋值给向量DyDy(i)=Y(i+1)-Y(i)，i=1,2,…,n-1。注意向量Dy元素个数比Y少Dy=diff(Y,n)：计算向量Y的n阶向前差分。例如，diff(Y,2)=dif
3、f(diff(Y))=DX(i+1)-DX(i)=Y(i+2)-2Y(i+1)+Y(i)，i=1,2……n-2。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。>>A=pascal(4)A=1111123413610141020>>B=diff(A)B=0123013601410>>C=diff(A,2)C=00130014>>D=diff(A,1,1)D=0123013601410>>E=diff(A,1,2)E=00011123436107.1.3近似梯度函数gradient的调用格式为[Fx,Fy]=
4、gradient(F,hx,hy)求矩阵F，求其x(行)方向的数值梯度Fx和y(列)方向的数值梯度Fy，x方向步长全为hx，y方向步长全为hy。Fx相当于偏导数∂F/∂x,Fy相当于偏导数∂F/∂y。[Fx,Fy]=gradient(F,h)求矩阵F，求其x(行)方向的数值梯度Fx和y(列)方向的数值梯度Fy，各个方向步长全为h。Fx=gradient(F)如果F是向量，直接求其数值梯度；如果F是矩阵，求其x(行)方向的数值梯度，步长为1。[Fx,Fy]=gradient(F)求矩阵F，求其x(行)方向的数值梯度Fx和y(列)方向的数值梯度Fy，步长为1>>X=[13524];>
5、>Y=gradient(X)Y=2.00002.0000-0.5000-0.50002.0000>>Y=gradient(X,2)Y=1.00001.0000-0.2500-0.25001.0000即两边用前向和后向差分，中间用中心差分>>A=pascal(4)A=1111123413610141020>>[Fx,Fy]=gradient(A)Fx=00001.00001.00001.00001.00002.00002.50003.50004.00003.00004.50008.000010.0000Fy=01.00002.00003.000001.00002.50004.500
6、001.00003.50008.000001.00004.000010.00007.1.4拉普拉斯算子4*del2由于内部算法的原因：U=4*del2(v,h)，对1维向量v以步长h求拉普拉斯算子时，返回一相同维数的向量U，且默认的步长为1。U=4*del2(v,h1,h2)，对矩阵v，横向(x方向)以步长h1，纵向(y方向)以步长h2计算拉普拉斯算子。>>4*del2(U)ans=444444444444>>[x,y]=meshgrid(1:4,1:3);>>U=x.*x+y.*yU=251017581320101318257.2数值积分7.2.1数值积分基本原理我们知道，定积
7、分是求和式的极限，即。它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。把区间［a，b］分割成n等分，像这样取定步长算积分的方法，称为定步长积分法法。常见的低阶求积分公式复化矩形公式复化的梯形公式复化的辛普森（Simpson）公式辛普森公式的几何意义7.2.2变步长
