微积分的数值计算方法

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1、第七章微积分的数值计算方法7.1微积分计算存在的问题/数值积分的基本概念1.微分计算问题求函数的导数(微分)，原则上没有问题。当然，这是指所求函数为连续形式且导数存在的情形。但如果函数一表格形式给出，要求函数在某点的导数值；或者是希望某点的导数值只用其附近离散点上的函数值近似地表示，这就是新问题了，它称为微分的数值计算，或称为数值微分。2．定积分计算问题计算函数在上的定积分当被积函数的原函数能用有限形式给出时，可用积分基本公式来计算：然而，问题在于：①的原函数或者很难找到，或者根本不存在；②可能给出一个函数表；③仅仅知道是某个无穷级数的和或某个微分方程的解等等。这就迫使人们不得不寻求定积分的

2、近似计算，也称数值积分。3．数值积分的基本形式数值积分的基本做法是构造形式如下的近似公式(7.1.1)或记成(7.1.2)和分别成为上的的数值求积公式及其余项(截断误差)，和分别称为求积节点和求积系数(求积系数与被积函数无关)。这种求积公式的特点是把求积过(极限过程)程转化为乘法与加法的代数运算。构造这种求积公式需要做的工作是：确定节点及系数，估计余项以及讨论的算法设计及其数值稳定性。4．插值型求积公式如何构造求积公式呢？基本的技术是用被积函数的Lagrange插值多项式近似代替，也即对上指定的个节点9及相应的函数值，作代入(7.1.2)式等号左边有或写成形如(7.1.2)式的一般形式：(7

3、.1.4)其中(7.1.5)(7.1.6)称(7.1.4)为插值型求积公式。下面将要介绍的几种实用求积公式无不都是插值型公式的某种具体形式。由上述定义，用余项公式可以衡量数值求积公式的精确程度。不过，由余项公式(7.1.6)可见，如果为次数的多项式，则中有,故，从而公式(7.1.4)成为等式，这就是说，当被积函数为次数的多项式时，其相应的插值型求积公式不是近似公式，而是准确公式。据此，人们引入了另一个衡量数值求积公式近似程度好坏的“代数精度”概念。5.代数精度定义7.1.1如果数值求积公式，当是次多项式(可表示为)时，均有9，也即有，便称求积公式至少具有次代数精度；如果当是次多项式(可表示为

4、)时，只能是，也即有，便称求积公式具有次代数精度。定理7.1.1有个节点的插值型求积公式(7.1.4)，至少具有次代数精度。例7.1.1确定节点和系数，使得下列形式的求积公式具有3次代数精度。解利用代数精度定义取令计算得即得至少具有3次代数精度的求积公式为验证上式两端对，有左边=2/5，右边=1/3两者不相等，故可知所得公式正好为3次代数精度。7.2 Newton-Cotes型求积公式构造具体形式的插值型求积公式(6.1.4)的第一个想法是考虑求积节点为等距节点的情况(这时公式可能比较简单，而且节点也就定下来了)，这就是Newton-Cotes(牛顿-柯特斯公式)，而Newton-Cotes

5、型公式当节点只有两点和三点时，就是熟知的梯形公式和Simpson(辛普生)公式。1.Newton-Cotes求积公式9考虑积分区间上的节点为等距节点(7.2.1)由(7.1.5)式可得插值型求积系数(通过变换)记(7.2.2)并称它为Cotes系数，从而得等距节点的插值型的阶Newton-Cotes求积公式，。(7.2.3)显然，对不同的以及,按公式(7.2.2)算出，按公式可构造出不同阶的Newton-Cotes公式。下面是Cotes系数表（7.2.1）11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90………………………………8989

6、/283505888/28350-928/2835010496/28350-4540/28350……989/283501.梯形公式/Simpson公式当，即两个节点，取积分区间两个端点为节点时，由上表(7.2.1)可构造求积公式(7.2.4)称为梯形公式。当，即3个等距节点，取积分区间两端点及区间中点9为节点时，由表7.2.1可构造求积公式(7.2.5)称为Simpson(辛普生)公式或抛物线求积公式。类似地，当可构造出所谓Simpson3/8公式；当可构造出Milne(米尔尼)公式(有时也称Cotes公式)等等。1.误差分析关于Simpson-Cotes型求积公式的截断误差或称余项的分析，

7、计算数学家为我们证明了一个一般性定理。定理7.2.1Newton-Cotes公式(7.2.3)的余项可表示为：(1)对为奇数的情形，设，则(2)为偶数的情形，设，则由定理可知，Newton-Cotes公式作为插值型公式的特例，当为奇数时，保持至少次代数精度不变，只在为偶数时，代数精度才略加1次。梯形公式具有1次代数精度，余项为(7.2.6)Simpson公式具有3次代数精度，余项为(7.2.7)当为较大数时，