数值计算方法教案数值积分

《数值计算方法教案数值积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会计算方法又称“数值分析”。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的计算方法还要求适应电子计算机的特点。数值分析即“计算方法”.下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积分内容的心得与体会。首先了解一下数值积分的内容：（1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。（2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线

2、分别是，y=0，x=a，x=b。；其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积以及梯形公式梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：再来是辛普森公式辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由三点构成。从而到处其一般公式为，其中称为节点，称为求积系数，或权。衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。若某积分公式对于均能准确成立，但对于不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。***研究中矩形公式的代数精度及几何意义。【解】当时，公式左边

3、，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左右；故中矩形公式具有1次代数精度。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。其次是研究几种计算方法：首先是待定系数法。例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析：构造一次代数精度的公式，即当及时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。解：设积分公式为：。针对及，代入积分公式的左边和右边，有：，解得，于是有积分公式：。该公式即为梯形求积公式。例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公

4、式。解：设积分公式为。针对，及，代入积分公式的左边和右边，有：，解得：，，积分公式为：该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn，作n次多项式函数，根据拉格朗日公式：，则有，其中，代数精度的分析：若被积函数是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数即是被积函数本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。若是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线，其中必有，即；同理，若是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函

5、数，其中必有，即。再来是牛顿-柯特斯公式：；几何意义为，用以下矩形面积替代曲边梯形面积。