3、区间区间•a•a°a无穷区间邻域定义1以x0为中心,以δ为半径,长为2δ的开区间.即称为点x0的δ邻域,记为U(x0,δ).例1U(2,1)U(-½,½)={x
4、
5、x-2
6、<1}=(1,3).={x
7、
8、x+½
9、<½}=(-1,0).定义2点x0的去心邻域.即定义3点x0的左邻域,即点x0的右邻域,即○注：①所有的邻域都是开区间；②邻域是考虑某点附近点的集合，故δ一般不会很大;③邻域的中心:x0;邻域的半径:δ>0§1.2函数的概念一、函数的定义定义设D为一个非空实数集,若对D中每一个值x,按照一定的对应法则ƒ,总有确定的数值y和它对应,则称f是定义在D上的一个函数,记作y=
10、ƒ(x).称x为自变量,y为因变量;D为f的定义域;注：1.要求定义域D为非空集合.当时,称为函数在的函数值.函数值全体组成的数集Z={y
11、y=f(x),x∈D}为f的值域.4.定义域D和对应法则f是确定函数的两要素.3.函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。所以一般情况下，函数的定义域都省略不写.在判断两个函数是否相同时，判断其是否具有相同的定义域及对应法则.2.由f确定的y值，必须是唯一的.这类函数成为单值函数,还有一类函数为多值函数.由于有些函数的对应法则虽然形式上不同，但却表示同一个函数,所以在判断过程中经常把两个函数的定义域及值域是否相同作为一种判断方法.但要
12、注意的是,函数的定义域及值域相同仅是两个函数相同的必要条件而非充分条件.即一般用它来判断两个函数不相同.5.同一个函数不会因自变量,因变量字符的改变而发生改变.二、函数的表示法:列举法、描述法、列表法、图象法.三、分段函数问题：是否所有的函数都可用一个数学式子表示呢？有的函数在其定义域的不同范围内,要用两个或两个以上的数学式子来表示,这一类函数叫作分段函数.例：绝对值函数yxoy=
13、x
14、例符号函数•°°–11oxy例狄立克莱函数例取整函数(阶梯曲线)y=[x]为不超过x的最大整数部分.实际上是取左端点.°••°•••••°°°°°oxy12–1–1–2[0.3]=0[2.8
15、]=2[-0.3]=-1[-2.6]=-3注：分段函数虽然有几个式子，但它们合起来是一个函数，而不是几个函数.四、函数定义域的求法1.实际问题中的函数定义域例边长为a的正方形铁皮，在四个角裁掉边长为x的四个小正方形后，所得铁皮折为一个无顶的立方体，问x多大时，可使容积最大？集合表示法区间表示法2.一般函数的定义域例求函数的定义域.解：要使有意义，必须有从而，函数的定义域为如未特别指明,函数定义域Df为使函数有意义的自变量的全体.例求函数的定义域.解：要使有意义，必须有从而，函数的定义域为3.分段函数的定义域分段函数的定义域为各分段子定义域的并集.例求函数的定义域.解：可以看
16、出，函数的定义域为例解故f(x+3)的定义域为：[-3,-1]确定分段函数的定义域并求f(−1),f(0),f(1),f(x−1).解习题§1.3函数的基本性质一、单调性单调性、有界性、奇偶性和周期性对应曲线是的.则称ƒ(x)在区间I上严格单调或单调xyoy=ƒ(x)y=ƒ(x)oxy设ƒ(x)为定义在区间I上的函数,若∀x1,x2∈D,当x1
