高等数学微积分第十章 第4节ppt课件.ppt

《高等数学微积分第十章 第4节ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四节特殊场空间曲线积分和路径无关的等价条件几种重要的特殊场线单连通域与线复连通域面单连通域与面复连通域单连通区域内空间曲线积分和路径无关的等价条件无源场无旋场保守场有势场调和场若干定理平面向量场与复势一、空间曲线积分和路径无关的条件1。空间线单连通域和空间面单连通域线单连通域：如果空间区域内的任一简单闭曲线，都可以作出以为边界且全部位于内的曲面。否则称为线复连通域。线单连通域是一种适用公式的区域例如，空心球体是线单连通域，而环面体是一种线复连通域。如下图a：空心球体b：环面体一、空间曲线积分和路径无关的条件例如，环面体是一种面单连通域，而空心球体是面复连通域。面单连通域：若空间区域内的

2、任一简单闭曲面所包围的全部点都在区域内，则称为面单连通域。否则称为面复连通域，面单连通域是一种适用公式的区域。一、空间曲线积分和路径无关的条件2。线单连通区域内空间积分与路径无关一、空间曲线积分和路径无关的条件设是空间线单连通域，定理1则下述四个条件等价：一、空间曲线积分和路径无关的条件（2）（3）在内曲线积分（4）存在函数使得一、空间曲线积分和路径无关的条件若设是空间线单连通域，推论则二、几种重要的特殊场1。几种重要的特殊场的定义定义2若，则说是一个无旋场。定义1若，则说向量场是一个无源场，又称管形场。设定义3若曲线积分在中与积分路径无关，则说在中是一个保守场。定义4若使得，则说是一个

3、有势场，为其势函数。定理2在线单连通区域内，下述三者等价定义5若且，则称是调和场。故调和场是无源场和无旋场。2。几个特殊场之间的关系②是保守场①是无旋场③是有势场二、几种重要的特殊场例1证明向量场为有势场，并求其势函数。[解]所以为无旋场也为有势场二、几种重要的特殊场二、几种重要的特殊场取积分路径平行与坐标轴从到再到然后到则[解]故是无旋场，也是保守场。二、几种重要的特殊场例2证明为保守场，并计算积分，其中是从A到B的任一路径，又问其是否为调和场。二、几种重要的特殊场故所以，不是调和场二、几种重要的特殊场定理3若是调和场，是的势函数，则是调和函数，即。[证明]是调和场,即,且则其是有势场

4、。存在使得二、几种重要的特殊场故因势函数，所以定理4设是无源场，任取一个向量管，和是它的任两个横截面，方向都朝所指一侧，则二、几种重要的特殊场[证明]设是由两个断面和侧面——介于和之间的一段向量管所组成的闭曲面，二、几种重要的特殊场记他们所围区域为，取外侧，则取外侧，因其是无源场，由Gauss公式即而由※式可得又因是向量管的一部分，其法向量二、几种重要的特殊场定理5设是定义在面单连通域的一个向量场，那么是无源场的充要条件是存在向量场,使得[证明]（充分性）设，则由旋度的性质得，,即为无旋场。（必要性）设，满足，我们只需要找到，使得二、几种重要的特殊场方程组可转化为：①②③二、几种重要的特

5、殊场由①关于积分得由②关于积分得带入③左端得④⑤⑥二、几种重要的特殊场因是无源场，即故带入⑥得二、几种重要的特殊场由③可知特殊地，若我们仅考虑方程组满足的解，则⑤化为二、几种重要的特殊场关于积分得于是由④，⑤及的假设可得偏微分方程组的一类解。二、几种重要的特殊场其中是的任意可微函数，是的任意可微函数，C为任意常数。因此满足的确实存在，二、几种重要的特殊场三`平面向量场与复势以记号表示对应关系，A表示与向对应的是复变函数，设量对应的复数,相应地,与向量场因用表示的数量部分：三`平面向量场与复势则则：三`平面向量场与复势时针方向旋转,ds是曲线L的弧长微分,设L是复平面上的光滑定向曲线，是L

6、单位法向量，是L的单位切向量，沿逆对应的复数为，故可由沿顺时针旋转得到，它三`平面向量场与复势向量场沿曲线L的环量故向量场沿曲线L的通量讨论散度和旋度的复变函数，引进形式微分算子三`平面向量场与复势若，则故规定三`平面向量场与复势设可微，则三`平面向量场与复势三`平面向量场与复势故Cauchy-Riemann方程组：等价于所以就是Cauchy-Riemann方程的复变函数形式。三`平面向量场与复势例3设，讨论它的可导和解析。解：当且仅当z=0时，,这时f(z)满足C-R方程,f(z)可导；当时,f(z)不满足C-R方程，不可导。由解析函数的定义知f(z)=zRez在全平面处处不解析。其次

7、，注意到：三`平面向量场与复势故三`平面向量场与复势现在假定是调和场，即知或，易知满足C-R方程，是一个关于z的解析函数，记其原函数为则或当是单连通域D的调和场的时，其复势f(z)也是一个解析函数，称为向量场的复势，另一方面三`平面向量场与复势因f(z)关z解析：故三`平面向量场与复势即所以u就是场的调和函数，-u就是的势函数，这就是f(z)称为的复势的原因,则:所以:定理6设是平面向量场，是它的复表示，则其中是场通过曲线的通量，是