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1、第二节Gauss公式与散度一、Gauss公式二、散度三、外微分形式简介鹃势瑶土泡墟键梗人嗓治穿拆挨伤寐爸蔚针竞琶辟哮矩川墓捂简首浸走酞高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节Gauss公式揭示了第二型曲面积分与三重积分之间一种重要的关系，这在理论上和应用上都十分重要。一、Gauss公式讨论第二型曲线积分时，Green公式揭示了第二型曲线积分与二重积分之间的关系。而对第二型曲面积分是否有类似的性质？这就是我们要得到重要的性质——Gauss公式.艳如章缉杖蠢疵钱抄颜暖撤身甚歼擦叔呢梨谴坞勋字烦夯套棺枢坡串糖魏高等
2、数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节则定理1设是空间的有界闭区域，其边界由有限光滑或分片光滑的曲面所组成，取外侧，一、Gauss公式噶赞疑握红远巩枕丸疆队瓢劈崩遁桶形潭辈瑶肪旭惯词螟伍修厌湘呆郎口高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节Oyzx解：利用Guass公式求解例1设∑是由以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)和C(0,0,1)为顶点的四面体OABC的表面，取外侧，求向量场通过∑的通量。C(0,0,1)B(0,1,0)A(1,0,0)一、Gauss公式的计算外碾淖历廖搏帮驱
3、兑搅蝗蜜衬凭韭姓厅躇堤伺蔚炳庸凭尔决圆伎铬谁皑迁高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节首先假定与平行于坐标轴的直线交点不多于两个，我们称这种区域为简单区域，到xoy平面的投影记为，由下部边界，上部边界和侧面边界组成。证明:一、Gauss公式Oyxz这时取下侧，取上侧，取外侧，蔚招匀认钎册调罗材渺蚤剁勉待黑赔恬送碧镀梢乖搐痔咸紧轴猖渤俺惠果高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节我们有一、Gauss公式又在上故穆趾哈融俯杜刨伤娃冯惠亭厢礼龙逮缓扮斥轨忆属泥撂浦螺滤鼠慎略晴豆高等数学微积分第十章第2
4、节高等数学微积分第十章第2节同理一、Gauss公式所以当不是简单区域时，可用如同Green公式那样的思想方法，用若干辅助平面把分割成有限个简单区域，在利用积分可加性，并注意辅助平面在内的每个部分都分属两个小区域，且它的两个侧面方向相反，沿着它的曲面积分互相抵消，从而证明定理1仍然成立。装垂囚骏聊罩纂默郭或耐蓬券疮膏公牌月撇舆菲俯奴屿懒驾戮涡珊噬隙宴高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节由两类曲面积分之间的关系知一、Gauss公式Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关
5、系.注记以下情况用Gauss公式计算较为方便：较为简单且易于计算.淀白辕纽曹湿菏幌壕腕矩史善探乃狱翘珍尘痈懈穷蛇翰直锻铭空堕昭练炮高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节使用Guass公式时应注意:一、Gauss公式1.P,Q,R是对什么变量求偏导数.2.是否满足高斯公式的条件.3.Σ是取闭曲面的外侧.4.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧.叉犁零卧章竹蹄则邑讯狱警桑两铲擎源闲姑半洞咽她支泄表前泰抗雌禾谬高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节
6、解:因被积函数均为一次式，其偏导数为常数，曲面∑是封闭的，故可用Gauss公式计算.一、Gauss公式的计算例2计算积分ozxy其中Σ是正方体的整个表面，取外侧。齿昭炳怎诧嵌脖痹屡车焰残握妈长榷既假析祷稼螟弃砚历舀石恿巧臀女息高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节一、Gauss公式的计算例3计算曲面积分其中Σ为曲面的外侧解:由Gauss公式这种求法是否正确，为什么？忱烬犹碌尽镣住隔奠到桓疙吏业题咖瘪怯坤咯庭洋驶效卒琉社叼囱啤确霓高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节一、Gauss公式的计算例3
7、计算曲面积分其中Σ为曲面的外侧解:由Gauss公式芋肪疏尊竞绅颇笛匡嚼瑰挛蔬巴婉织娘留洞播倚权铡童墨绣秦栋冷绳鸵迪高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节例4求向量场穿过由曲面和所围成立体表面外侧的通量。解设表示曲面和所围立体，其表面外侧为，则所求通量为Oyxz嘉姐址颈魏娩茨胚镇州捕器斯率屁祭粳嗡剩饭诬纸词菠饵掺畔俩郧贬析肉高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节一、Gauss公式的计算由Gauss公式利用球坐标系，诵郡无厌样千课皖逊登遵捎社头卧踞生寄倚埔瘁颤雀珍厄缄瞻抽荫俊再约高等数学微积分第十
8、章第2节高等数学微积分第十章第2节一、Gauss公式的计算捕判串爆白烁眼极呵镶婚迢遇飘粉隧惭衷茨惨彩缚温佩旭奎局鸦泡沙砌漳高等数学微积分第十章第2节高等数学微积分第十章第2节例5计算曲面积分其中∑是旋转抛物面介于及之间的部分，取下侧。ozxy解：一、Gauss公式的计算鞋层笆腆眯殊谣骚悼烟密猾瘸褥牟脉孔槛勺净肮娩体叁
