高等数学微积分曲率课件.ppt

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1、第七节机动目录上页下页返回结束一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率第四章一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长机动目录上页下页返回结束则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:机动目录上页下页返回结束二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．))弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大)在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0机动目录上页下页返回结束转角为例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R越小,则K越大,圆弧

2、弯曲得越厉害;R越大,则K越小,圆弧弯曲得越小.机动目录上页下页返回结束有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动目录上页下页返回结束说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则机动目录上页下页返回结束例2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动目录上页下页返回结束且l<

3、道的半径,l是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点机动目录上页下页返回结束解:显然例3.求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K最大最小机动目录上页下页返回结束求驻点:设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率机动目录上页下页返回结束计算驻点处的函数值:最大.三、曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使机动目录上页下页返回结束1.曲线上一点处的曲率半径与

4、曲线在该点处的曲率互为倒数.注意:2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).设曲线方程为且求曲线上点M处的曲率半径曲率半径公式为机动目录上页下页返回结束例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3目录上页下页返回结束内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲

5、率圆曲率半径机动目录上页下页返回结束思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲率半径R,并分析何处R最小?解:则利用机动目录上页下页返回结束