微积分 函数曲率

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1、第七节曲率一.弧微分二.曲率及其计算公式三.曲率圆与曲率半径四.小结一、弧微分yN设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数.TMAR基点:A(x,y),00oxxxxxM(x,y)为任意一点,0规定：(1)曲线的正向与x增大的方向一致;(2)AMs,当AM的方向与曲线正向一致时,s取正号,相反时,s取负号.yN单调增函数ss(x).TMAR设N(xx,yy),如图，oxxxxx0MNMNMTNT当x0时,22y2y2dxMN(x)(y)1()x1,xMNsds

2、,222MT(dx)(dy)1ydx,2NTydy0,故ds1ydx.弧微分公式2ss(x)为单调增函数,故ds1ydx.2弧微分公式ds1ydx22ds(dx)(dy).2如曲线xx(y),则ds1xdy.x(t),dx(t)dt,如曲线为参数方程y(t),dy(t)dt,22ds(t)(t)dt.如曲线以极坐标方程给出()x()cos可化为参数方程形式y()sin22代入公式,得ds[()][(

3、)]d.二、曲率及其计算公式1.曲率的定义曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。21SSM21M2MM3SS2N1NM1弧段弯曲程度转角相同弧段越越大转角越大短弯曲程度越大yC设曲线C是光滑的，M.M是基点.MMs,0SSMMM切线转角为.0.M)ox定义弧段MM的平均曲率为K.s曲线C在点M处的曲率Klims0sdd在lim存在的条件下,K.s0sdsds注意:(1)直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径

4、越小曲率越大.2.曲率的计算公式设yf(x)二阶可导,tany,y有arctany,ddx,21ydyK2ds1ydx.k.ds322(1y)x(t),设二阶可导,y(t),dy(t)d2y(t)(t)(t)(t),.dx(t)dx23(t)(t)(t)(t)(t)k.3[2(t)2(t)]2yk.322(1y)2例1抛物线yaxbxc上哪一点的曲率最大?y解y2ax

5、b,y2a,k3222a(1y)k.322[1(2axb)]b显然,当x时,k最大.2a2bb4ac又(,)为抛物线的顶点,2a4a抛物线在顶点处的曲率最大.例2铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平稳，往往在直道和弯道之间接入一段y缓冲段(如图),使曲R率连续地由零过渡1lA(x0,y0)到(R为圆弧轨道RoC(x0,0)x的半径).13通常用三次抛物线yx，x[0,x]．作为06Rl缓冲段OA，其中l为OA的长度，验证缓冲段OA在始端O的曲率ly为零,

6、并且当很小RlR(1)时，在终端RlA(x0,y0)1A的曲率近似为.oC(x0,0)xR13证如图yxy6Rlx的负半轴表示直道，ROA是缓冲段,AB是圆弧轨道.lA(x0,y0)在缓冲段上,oC(x0,0)x121yx,yx.2RlRl在x0处,y0,y0,故缓冲始点的曲率k00.实际要求lx,01212ly有yxl,xx002Rl2Rl2R111Ryxxx0l,0RlRlRlA(x0,y0)故在终端A的曲率为oC(x0,0)x1ykRA3xx02322l2(

7、1y)(1)24R21ll1,略去二次项,得k.2AR4RR三、曲率圆与曲率半径定义设曲线yf(x)在点yM(x,y)处的曲率为k(k0).yf(x)D1在点M处的曲线的法线上,k在凹的一侧取一点D,使DMMox1.以D为圆心,为半径k作圆(如图),称此圆为曲线在点M处的曲率圆.D曲率中心,曲率半径.注意:1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.11即,k.k2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).

8、3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).2x例3飞机沿抛物线yy4000(单位为米)俯冲飞行,在原Q点O处速度为v400米/秒,飞行员体重70千克.求俯冲ox到原点时,飞行员对座椅的P压力.解如图,