微积分3-5曲线的曲率

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1、《微积分A》习题解答习题3.5(P185)1．求下列曲线的弧微分.2(1)y=ln(1−x)22−2x⎛−2x⎞1+x解：y′=，ds=1+⎜⎟dx=dx2221−x⎝1−x⎠1−xx(2)y=acosha2x⎛x⎞x解：y′=sh，ds=1+⎜sh⎟dx=chdxa⎝a⎠a⎧x=acos3t(3)⎨3⎩y=asint22解：x′t=−3acost⋅sint，yt′=3asint⋅cost222222(x′t)+(y′t)=3asint⋅cost，ds=3asint⋅costdt(4)ρ=a1(+cosθ)（心脏线）解：ρ′(θ)=−asinθ222ρ+ρ

2、′=2a1(+cosθ)，ds=2a1+cosθdθθ或：ds=2acosdθ222．抛物线y=ax+bx+c上哪一点处的曲率最大？解：y′=2ax+b，y′′=2a2abK=，所以当x=−时，曲率最大，22/32a1(+2(ax+b))bb2−4ac⎛bb2−4ac⎞当x=−时，y=−，故在点⎜−,−⎟处曲率最大.2a4a⎜⎝2a4a⎟⎠第3章微分中值定理及其应用第5节曲线的曲率1/4《微积分A》习题解答3．求下列曲线在指定点处的曲率.(1)y=lnsecx,M0=(x0,y0)secx⋅tanx2解：y′==tanx，y′′=secxsecx2y′′s

3、ecxK===cosx+′22/322/31((y))1(+tanx)K(x0,y0)=cosx0x(2)y=acosh,M0=(a,acosh)1ax1x1解：y′=sh，y′=sh1，y′′=cosh，y′′=cosh1ax=aaax=aa1cosh1y′′a11K===⋅+′22/3sh22/3a21((y))1(+)1cosh1⎧x=acostπ(3)⎨，在t=处⎩y=bsint2解：x′π=−asintπ=−a，x′′π=−acostπ=0tt=t=tt=t=2222y′π=bcostπ=0，y′′π=−bsintπ=−btt=t=tt=t=22

4、22yt′′⋅x′t−y′t⋅xt′′abb故K===′2+′22/332((xt)(yt))aa(4)ρ=aθ，在θ=π处⎧x=aθcosθ解：⎨，⎩y=aθsinθx′=a(cosθ−θsinθ)=−a，x′′=a(−2sinθ−θcosθ)=aπθθ=πθ=πθθ=πθ=πy′=a(sinθ+θcosθ)=−aπ，y′′=a2(cosθ−θsinθ)=−2aθθ=πθ=πθθ=πθ=π第3章微分中值定理及其应用第5节曲线的曲率2/4《微积分A》习题解答yθ′′⋅xθ′−yθ′⋅xθ′′2+π2K==′2+′22/322/3((xθ)(yθ))a1(+

5、π)224．求曲线x−xy+y=1在点,1()1处的曲率.解：方程两边对x求导：2x−y−yx′+2yy′=0(*)2x−y即y′=，所以y′)1,1(=−1x−2y2(*)式对x求导：2−y′−y′−yx′′+(2y′)+2yy′′=0得y′′)1,1(=−6y′′63K===+′22/31((y))2225．曲线y=sinx0(

6、==，当x=时，sinx最大，而1(+cosx)最小，此时，曲Ksinx2⎛π⎞率半径R取得最小值，即在点⎜1,⎟处，Rmin=1⎝2⎠6．求曲线y=lnx在与x轴交点处的曲率圆.11解：曲线与x轴交点为)0,1(，由于y′=，y′′=−，所以，y′)1(=1，y′′)1(=−1，x2x+′22/31[y1()]2/3R==2y′′)1(设曲率中心为O′(ξ,η)，则有第3章微分中值定理及其应用第5节曲线的曲率3/4《微积分A》习题解答⎧(ξ−)12+(η−)02=R2⎧(ξ−)12+η2=8⎪⎪法1：⎨η−01，即⎨η=−=−1⎪⎩ξ−1y′)1(⎪⎩ξ

7、−12解得：(ξ−)1=4，根据曲线的凸性得ξ−1>0，故得ξ=3，η=−222y′(1+y′)1(1+1)法2：（套用求曲率中心的公式），故曲率中心为ξ=x−=1−=3，y′′−1221+y′1+1η=y+=0+=−2，y′′−122所以曲率圆方程为(x−)3+(y+)2=8第3章微分中值定理及其应用第5节曲线的曲率4/4