函数的凸性曲线的曲率

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1、第7章函数的凸性·曲线的曲率图1xyO内容摘要①凸函数函数的“凸性”概念最初来自曲线的弯曲方向。例如，曲线(图1)在轴左边是向下弯曲的(称为上凸)，而在轴右边是向上弯曲的(称为下凸)。虽然说“弯曲方向”或“凸性”这些名称是几何上的术语，但经过抽象后的凸函数理论在其它数学分支中也是很有用的。从图2中看出，向上弯曲(下凸)的曲线上任何两点的连线(弦)的中点在弧的上方；而从图3中看出，向下弯曲(上凸)的曲线上任何两点的连线(弦)的中点在弧的下方。图2ABCDxyOx1(x1+x2)/2x2yABCD图3Ox1(x1+x2)/2x2x根据上面几何上的

2、启示，我们引入下面的定义：称连续函数在区间内为下凸(上凸)函数，假若对于内任意两点和，都有(※)【注1】在国内早期的一些教科书(包括翻译前苏联的一些教科书)中，都把下凸函数称为“凹函数”，而把上凸函数称为“凸函数”。这里的称呼与新近一些教科书或论文中的称呼是一致的。请读者注意到这些区别。【注2】还请读者注意，通常说“函数在区间内是下(上)凸函数”，若对于内任意两点和与任意，都满足琴生(Jesen)不等式它等价于不等式（其中和为正数且）显然，不等式(※)是琴生不等式的特殊情形。不过，对于连续函数来说，不等式(※)与琴生不等式是等价的。因此，我们

3、就用简单的不等式(※)定义函数的凸性。关于连续函数情形下两者等价性的证明，有兴趣的读者可去看本网站上的专题选讲。【注3】若函数在区间115内可微分，则从下图4看出，下凸(上凸)函数的图形上，每一点处的切线都在图形的下面(上面)，而且导函数(切线的斜率)是增大(减小)的。我们也可以证明这个结论(见专题选讲)。图4①下凸切线②上凸切线定理设函数在区间内有导数。若导数在内是增大(减小)的，则函数在区间内是下凸(上凸)的。(逆命题也成立。专题选讲中有证明)。假若函数在区间内有二阶导数，那么根据上述定理和判别函数单调性的方法，就有下面判别函数凸性的方法

4、。判别法设函数在区间内有二阶导数⑴若，则在区间内是下凸函数[因为导数是增函数]；⑵若，则在区间内是上凸函数[因为导数是减函数]。②拐点(变曲点)函数图形可能在这一段上是上凸的，而在相邻的另一段上又是下凸的(如图1中原点的两边)。这样两段弧的连接点，就称为函数图形(曲线)的拐点(曲线拐弯的点)或变曲点(曲线改变弯曲方向的点)。同时，也把函数图形拐点的横坐标称为这个函数的拐点或变曲点。请读者注意到函数的拐点与函数图形(曲线)的拐点之间的区别!若点是函数的拐点且有二阶导数，则这是因为，例如函数在点的左边近旁下凸时，由于(见注3)，所以(极限运算单调

5、性)且函数在点的右边上凸时，由于，所以(极限运算单调性)图5Oxy因此.同理，若函数在点的左边上凸且在点的右边下凸时，也有.但是要注意，仅有时，点不一定是函数的拐点。例如函数，尽管有，但不是函数的拐点，因为即函数在原点的两边都是下凸的(图5)。115特别，假若函数在区间内有二阶导数,且在点的两边有相反的符号,则就是函数的拐点。此时，当然有③勾画函数图形的方法在中学数学中，画函数图形用的是描点法。它的缺点是不能从整体上把握函数变化的状态。微积分中讲的绘图方法称为解析法，而它的优点正好弥补了描点法的缺陷。我们利用导数的有关信息所画出的略图，使我们

6、能够看出函数的变化状态。例如在哪个区间内，它是增大的或减小的，是下凸的或上凸的；又在哪个点上取到极大值或极小值。因此，把描点法和解析法结合起来就是最好的绘图方法。xy图6O④函数图形的渐近线不管是描点法，还是解析法，都只能画出函数图形的有限部分。对于那些能够伸向无穷远处的函数图形，当函数图形伸向无穷远时，它有可能无限接近某一直线(称它为渐近线)。例如，函数的图形有两条渐近线(图6)。因为它们与轴平行，所以称它们为水平渐近线。求水平渐近线的方法很简单。若存在有穷极限或则曲线就有水平渐近线函数图形也可能有垂直渐近线。例如函数的图形(图7)有两条垂

7、直渐近线.求垂直渐近线的方法也很简单。若函数有无穷间断点，即(左极限)或(右极限)图7yxO则曲线就有垂直渐近线.可见，当函数有无穷间断点时，它才有垂直渐近线。图8AOθdNθPxy函数图形还可能有斜渐近线。如图8，设曲线上点到直线的距离为.在直角三角形中，115按定义，直线是曲线的渐近线，当且仅当点沿曲线伸向无穷远时，有；而，当且仅当有常数和，使或于是，当条件满足时，可以按下面的方法求常数和：第一步，先求斜率因为且所以；第二步，再求截距，即⑤曲线的曲率（理工科专业学生用，经济类专业学生不用）BA图9CD曲线的下凸和上凸说的是曲线的弯曲方向，

8、而曲线的曲率说的是曲线的弯曲程度。直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为.一般情形下，如图9，弧的全曲率规定为起点A处切线方向与终点B处切线方向的偏差.可是，弧的全曲率