43--曲线的凸性及拐点---函数作图

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1、教案（首页）授课日期授课班级课题4.3曲线的凸性及拐点函数作图计划学时2课时教学目标1.熟练掌握函数拐点以及1叫凸区间的定义；2.掌握函数1叫凸性的判定方法及拐点定理;3.熟练掌握函数草图的做法并了解一般的作图步骤；教学重点解决措施教学重点：函数凹凸性的判定方法及拐点定理解决措施：讲授、演示教学难点解决措施教学难点：函数草图的做法解决措施：讲授、演示教学设计教学手段教学方法多媒体教学、板书演示板书设计授课提纲一、复习二、新授4.3曲线的凸性及拐点函数作图（一）函数拐点以及凹凸区间的定义（二）函数凹凸性的判定方法及拐点定理（三）函数草图的做法并了解一般的作图步骤三、练习四、小结五、作

2、业教师活动【复习提问】1.柯西中值定理；2.罗必塔法则及其应用；3.应用罗必塔法则需要注意的问5分钟提问学生活动回答5分钟其实所有函数的图像可有这四种图像组合而成解释题.【新课引入】I•凸性及拐点在第一章我们讨论过函数的作图问题。但能使用的手段不多。本章第一节用导数的正负判断函数的增减性及极值点,无疑是增加了作图的有效手段，但切线的斜线率是减小的。而图4.14的右图却正好相反，即当x增大时，切线率是增大的。因此用导数增减性可完全反映出图形的凸性。【新课讲授】教学过程设计时间分配教师活动H定义一设函数y=/（%）在（以）可导，如呆厂⑴世递减的，则称曲线尸/&）在仏切内是凸的；如果广⑴

3、是递增的，则称曲线）=y（兀）在（Q上）内事凹的。定义二设函数y=/（X）在所考虑的区间可导，则曲线）=/（兀）的凸凹分界点称为曲线）匸/（Q的拐点。如何判断曲线的凸凹及拐点呢？曲线的凹凸是由广（兀）得增减性来定义的，又因为厂⑴足厂⑴的导数，所以广（兀）的增减可由厂⑴的正负号来判断。于是可得到下列几个定理。定理一若fr（x）＞O,xe（a9b）,则曲线y=f（x）在仏b）内是凹的，反之，若/r（x）＜O,xe（a,b）则曲线y=/（兀）在G，b）内事凸的。定理二（拐点的必要条件）若点（心/比））是曲线）,=/（%）的拐点。且兀。处二阶导数存在。则厂亿）=0。定理三若厂（兀0）=0且

4、/©）在无0两侧变号，则点（兀oJ&o））是曲线的拐点。例1求曲线尸111（1+兀彳）的拐点。并判断曲线在什么区间上是凸的，在什么区间上是凹的？解函数的定义域是（-oo,+oo）。50分钟定义，交代注意占教学过程设计时间分配教师活动H,2xy=.2‘1+天,=2（l-x2）（1+讨令y"=0,得兀=l,x=-1。讨论如下：当一oovxv-l时，yn<0,曲线是凸的，当-1VXV：!时，)彳>0,曲线是凹的，当lvxv+x时，y"v0曲线是凸的。由此知拐点为(-Lin2)及(1,In2).(-汽―1),(1,+®)为区间，(-1,1)为凹区间。Y2+1例2讨论曲线y二入1的凸凹及拐点

5、。，X例题选解解算出Z11y=

6、2，X”2函数的定义域为(-oo,0)U(0,+oo),讨论如下：当XV0时，/<0,曲线是凸的，当想x>时，/>0,曲线是凸的，因为x=0不在定义域内，所以曲线无拐点。II•函数作图教学过程设计时间分配教师活动Ka作函数的图形，大致可以分为以下步骤：(1)初步研究：如何讨论定义域，对称性，周期性(2)讨论增减区间•极值点及极值；(3)讨论F1凸区间及拐点；(4)讨论一些特殊情形，如有点兀()使=〜及若lim/KJCTX0XT8XTX。,说明曲线与直线x=x0无限接近(如图4.15),直线x=x0称为曲线y二/(兀)的水平渐近线。若lim/&)=A(

7、常数)，说明曲线与直线尸A无XT8限接近•直线尸A称为曲线歹=/⑴的水平渐近线(如图4.16).(5)根据需要再增算几个点注意，作图时限讨论(1)(2)(4)与(5)•因为往往有这样情形(1),(2),(4)与足以画出其图形.当还不足以画出图形时，在讨论(3).st师动教活时间分配绍图聚介作步X(-00,-1)x=-l(-1,1)X=1(1,-/y0+0-图形极小值点/极大值点兀二±1是驻点，它把定义域分为三段.图形变化见下表。极小值为/(-I)=-*极大值为/⑴=绍下进的頼用何观思充明介一渐线由利几直的叔补说例3作函数fx)=的图形.1+JC解函数的定义域为(-oo,+oo)

8、,是奇函数，所以图形对称于原点.,1-X2讨论渐近线：lim—=0oAT81+兀_故有水平渐近线y=0,X/(0)=0,当x>0时/(兀)>0有以上材料就可大致画岀图形。例4作函数），=厂・的图形。解：函数的定义域为（-oo,+oo）,是偶函数，图形对称y轴,且y〉0,所以图形在x轴的上方。X(-°°,0)x=0（0卄）/y+0-图形/极大值点、=_2皿一'°令y=0,得驻点兀=0.极大值为/=1y"=2(2x2-1)厂令）/=o,得兀二±丄V2误!未找到引用源。）・