函数的凸性与拐点.ppt

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1、一、函数凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?任意弧段位于所张弦的上方,任意点的切线在曲线上方任意弧段位于所张弦的下方，任意点的切线在曲线下方§5函数的凸性与拐点凸函数凹函数ABC设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))，则线段AB间的任意点C(x,y)可表示为：xC定义如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。引理f为I上的凸函数的充要条件：对于I上的任意三点，总有证:必要性由f的凸性知道:从而充分性在I上任取两点在上任取一点由必要性的推导逆过程，可证得故f为I上的凸函数。同理可证，f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点有

2、定理设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：(1)f为I上凸函数,(3)对I上的任意两点有证任取I上两点及充分小的正数h,由于根据f的凸性及引理有所以为I上的递增函数。在以为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和递增条件，有设为I上任意两点，由(3):从而f为I上的凸函数。注意:论断(3)的几何意义是：曲线总是在它的任一切线的上方。这是可导凸函数的几何特征。定理设f为I区间上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是证凸凹例1解注意到,例2若函数f为定义在开区间（a，b）内的可导的凸（凹）函数，则x0为f的极小（大）值点的充要条件是证只证明f为凸函数的

3、情形。必要性已由费马定理给出，只需证明充分性。即x0为f在（a，b）内的极小值点（而且为最小值点）。*詹森（Jensen）不等式若f为[a，b]上凸函数，则*例4证明不等式其中a，b，c为正数。证故f为严格凸函数,例5设f为开区间I内的凸（凹）函数，证明f在I内任一点都存在左，右导数。证仅证凸函数存在右导数，其余类似可证。由f的凸性，有即F为增函数。因而函数F（h）在h>0上有下界，定义2设曲线y=f（x）在点(x0,f(x0))处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(x0,f(x0))为曲线的拐点。与极值点类似，拐点只能

4、是f的零点或f不存在的点。二、曲线的拐点*证:定理4（拐点的第一充分条件）*定理5（拐点的第二充分条件）若f(x)可导，则f(x)的拐点是的极值点。*定理5（拐点的第二充分条件）*证思考：.)(0异号的左右邻近在xfx¢¢Þ?0),0)()(020)12(0Þ¹===¢¢-(xfxfxfnn）（且若L凹凸与拐点的判定步骤例7解拐点非拐点作业P153.1（2）5（1）