函数的图形与曲率

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1、3.11.1曲线的渐近线3.11.2函数图形的描绘机动目录上页下页返回结束函数图形的描绘第3章§3.113.11.3弧微分3.11.4曲率及其计算公式3.11.5曲率圆与曲率半径与平面曲线的曲率无渐近线.点M与3.11.1曲线的渐近线定义：当一动点M沿着曲线C无限地远离原点时，则称直线L为曲例如,双曲线有渐近线：但抛物线机动目录上页下页返回结束某一直线L的距离（纵或横坐标差）趋于线C的渐近线。1.水平与铅（垂）直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.机动目录上页下页返回

2、结束2.斜渐近线有斜渐近线若机动目录上页下页返回结束则例2.求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线。机动目录上页下页返回结束3.11.2函数图形的描绘的步骤设1.确定作图的区域，即函数的定义域,对称性、周期性、有界性;2.求并求出及3.列表判别增减及上、下凸区间,求出极值和拐点;4.求5.确定某些特殊点（与纵、横轴的交点）,描绘函数的图形。等于0和不收敛的点机动目录上页下页返回结束并考虑（可疑的极值点与可疑的拐点）;的渐近线;例3.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4

3、)机动目录上页下页返回结束例4.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义机动目录上页下页返回结束又因即5)求特殊点为斜渐近线机动目录上页下页返回结束6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点机动目录上页下页返回结束无定义例5.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点机动目录上页下页返回结束3)判别曲线形态(极大)(拐点)(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动目录上页下页返回结束3.11.3弧微分设在(a

4、,b)内有连续导数,其图形为AB,弧长机动目录上页下页返回结束则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:机动目录上页下页返回结束3.11.4曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!机动目录上页下页返回结束转角为例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.机动目录上页下页返回结束有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由机动目录上

5、页下页返回结束说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则机动目录上页下页返回结束例2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动目录上页下页返回结束且l<

6、率最大?解:故曲率为K最大最小机动目录上页下页返回结束求驻点:设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率机动目录上页下页返回结束计算驻点处的函数值:最大.3.11.5曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使机动目录上页下页返回结束设曲线方程为且求曲线上点M处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率

7、半径公式为满足方程组的坐标公式.机动目录上页下页返回结束由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G的渐伸线.机动目录上页下页返回结束屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3目录上页下页返回结束(仍

8、为摆线)例5.求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得摆线目录上页下页返回结束摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返