不等式证明的基本方法.doc

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1、绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析       定理1  若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。       几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。（2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。

2、a－b

3、表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。定理2  设a，b，c为实数，则，等号成立，即

4、b落在a，c之间。       推论1         推论2   ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。    比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。    如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综

5、合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。    所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。    综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目

6、的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】  例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：       思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：       证明：       证法一：                         ①当ab≤－1时，式①显然成立；当ab>－1时，式①   ②∵a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。证法二：当a=－b时，原不等式显然成立；当a≠－b时，                                          ∴原不等式成立。点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考

7、。   例2、设m等于

8、a

9、、

10、b

11、和1中最大的一个，当

12、x

13、>m时，求证：。       思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用，

14、a

15、、

16、b

17、和1这三个数中哪一个最大？如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m≥

18、a

19、、m≥

20、b

21、、m≥1。       证明：                     故原不等式成立。       点评：将题设条件中的文字语言“m等于

22、a

23、、

24、b

25、、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥

26、a

27、、m≥

28、b

29、、m≥1”是证明本题的关键。   例3、函数的定义域为［0，1］且。当∈［0，1］，时都有，求证：。   

30、    证明：不妨设，以下分两种情形讨论。       若       则       ，若       则              综上所述       点评：对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法。   例4、已知a>0，b>0，求证：。       思路：如果用差值比较法，下一步将是变形，显然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应采取局部通分的方法。       证明：                         ①           ②∴原不等式成立。点评：在上

31、面得到①式后，其分子的符号可由题设条件作出判断，但它没有②明显，所以，变形越彻底，越有利于最后的判断，本题还可以用比值比较法证明，留给读者去完成。   例5、设x>0，y>0，且x≠y，求证：              思路：注意到x、y的对称性，可能会想到重要不等式，但后续思路不好展开，故我们可采用分析法，从消去分数指数幂入手。       证明：∵x>0，y>0，且x≠y，              点评：在不便运用比较法或综合法时，应考虑用分析法。应注意分析法表述方法，其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述。本题应用了分析法，既找到了解题思路，又使问题完满