经典不等式证明的基本方法

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1、不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性：传递性：_________②、，a+c＞b+c③、a＞b，，那么ac＞bc；a＞b，，那么ac＜bc④、a＞b＞0，那么，ac＞bd⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件）2、基本不等式定理1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，

2、那么当x=y时，积xy有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。3、三个正数的算术-几何平均不等式二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值

3、a

4、的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：13任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么

5、a-b

6、的几何意义是A、B两点间的距离。定理1如果a,b是实数，则

7、a+b

8、≤

9、a

10、+

11、b

12、，当且仅当ab≥0时，等号成立。（绝对值三角不等式）如果a,b是实数，那么

13、a

14、-

15、b

16、≤

17、a±b

18、≤

19、a

20、+

21、b

22、定理2如果a,b,c是实数，

23、那么

24、a-c

25、≤

26、a-b

27、+

28、b-c

29、，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。2、绝对值不等式的解法（1）

30、ax+b

31、≤c和

32、ax+b

33、≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为

34、t

35、≤c和

36、t

37、≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：①用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法13典型例题例1解不等式例2解不等式

38、

39、x+3

40、-

41、x-3

42、

43、>3。例3 解不等式

44、x2-3

45、x

46、-3

47、<1。例4求使不等式

48、x-4

49、+

50、x-3

51、

52、最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。1、作差比较法　　常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.　　理论依据：　　①；②；③。　　一般步骤：　　第一步：作差；　　第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；　　第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零.如果差的符号无法确定，　　　　　　应根据题目的要求分类讨论.　　第四步：得出结论。　　注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。2、作商比较法　　常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商

53、变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）.　　理论依据：　　若、，则有①；②；③.　　基本步骤:　　第一步：判定要比较两式子的符号　　第二步：作商　　第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；　　第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.　　第五步：得出结论。　　注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点二：分析法　　分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的

54、命题成立的一种方法.　　思维过程：“执果索因”.　　证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。　　适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。13知识点三：综合法　　综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。　　思维过程：“执因索果”　　适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.知识点四：反证法　　反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐

55、步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。　　适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.　　理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。　　注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.知识点五：放缩法　　放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。　　理论依据：不等式的传递性：a>b,b>ca>c，找